Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{e^{x}+e^{y}}{\cos (x)+\operatorname{sen}(y)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{e^{x}+e^{y}}{\cos(x)+\sin(y)}
O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos usar os teoremas de continuidade, soma, produto e quociente de funções contínuas.

Passo 2

Definimos o numerador e o denominador separadamente:
\varphi(x,y)=e^{x}+e^{y},\qquad \psi(x,y)=\cos(x)+\sin(y).
Sabemos que e^{x}, e^{y}, \cos(x) e \sin(y) são contínuas em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Pelo teorema da soma e da continuidade composta, \varphi e \psi são contínuas em \mathbb{R}^2. Logo:
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\varphi(x,y)=\varphi(1,1)=e^1+e^1=2e,
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\psi(x,y)=\psi(1,1)=\cos(1)+\sin(1).

Passo 4

Verificamos que
\psi(1,1)=\cos(1)+\sin(1)\approx0,54+0,84=1,38\neq0.
Como o limite do denominador é distinto de zero, podemos usar o teorema do quociente.

Passo 5

Pelo teorema do quociente de limites em várias variáveis, conclui-se que
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{\varphi(x,y)}{\psi(x,y)} =\frac{\lim_{(x,y)\to(1,1)}\varphi(x,y)}{\lim_{(x,y)\to(1,1)}\psi(x,y)} =\frac{2e}{\cos(1)+\sin(1)}.

Resposta

\frac{2e}{\cos(1)+\sin(1)}

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