Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y \cos (y)}{3 x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y\cos(y)}{3x^2 + y^2},
que é um limite de função de duas variáveis. Para verificar se esse limite existe, vamos usar o critério de caminhos: se encontrarmos duas curvas que levem a valores diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Teorema (crivo de caminhos). Se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = L
existe, então para qualquer trajetória (x(t),y(t)) que tenda a (0,0) quando t\to t_0, vale
\lim_{t\to t_0} f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = L.
O contrapositivo diz que, se encontrarmos duas trajetórias cujo limite seja diferente, então o limite geral não existe.

Passo 3

Escolhemos a família de retas y = kx, onde k é constante. Substituindo no integrando:
\frac{x\,(kx)\cos(kx)}{3x^2 + (kx)^2} = \frac{k\,x^2\cos(kx)}{x^2(3 + k^2)} = \frac{k\cos(kx)}{3 + k^2}.

Passo 4

Fazendo x\to 0 nessa expressão, como \cos(kx)\to 1, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{k\cos(kx)}{3 + k^2} = \frac{k}{3 + k^2}.
Esse valor depende de k.

Passo 5

Para k=0 (reta y=0) o limite é 0/(3+0)=0. Para, digamos, k=1 (reta y=x) o limite é 1/(3+1)=1/4. Como esses resultados são distintos, pelo crivo de caminhos o limite em duas variáveis não existe.

Resposta

O limite não existe.

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