Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede
que é um limite de função de duas variáveis. Para verificar se esse limite existe, vamos usar o critério de caminhos: se encontrarmos duas curvas que levem a valores diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 2
Teorema (crivo de caminhos). Se
existe, então para qualquer trajetória
que tenda a
quando
, vale
O contrapositivo diz que, se encontrarmos duas trajetórias cujo limite seja diferente, então o limite geral não existe.
Passo 3
Escolhemos a família de retas
, onde
é constante. Substituindo no integrando:
Passo 4
Fazendo
nessa expressão, como
, obtemos
Esse valor depende de
.
Passo 5
Para
(reta
) o limite é
. Para, digamos,
(reta
) o limite é
. Como esses resultados são distintos, pelo crivo de caminhos o limite em duas variáveis não existe.
Resposta
O limite não existe.