Resolva a EDO: (x-2 y) \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(x - 2y)\,\frac{dy}{dx} = 2x e^{x} - y + 6x^{2}.
O conteúdo aqui é o estudo de equações diferenciais exatas. Vamos reescrever a EDO na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e verificar se ela é exata.

Passo 2

Passando tudo para um só membro, temos
- \bigl(2x e^{x} - y + 6x^{2}\bigr)\,dx + (x - 2y)\,dy = 0.
Logo
M(x,y) = -2x e^{x} + y - 6x^{2}, \quad N(x,y) = x - 2y.

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = N.
Para encontrar \varphi, integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int\bigl(-2x e^{x} + y - 6x^{2}\bigr)\,dx = \int -2x e^{x}\,dx \;+\; \int y\,dx \;-\; \int 6x^{2}\,dx.
Fazendo as integrais separadas:
\int -2x e^{x}\,dx = e^{x}(2 - 2x), \quad \int y\,dx = x\,y, \quad \int 6x^{2}\,dx = 2x^{3}.
Logo
\varphi(x,y) = e^{x}(2 - 2x) + x\,y - 2x^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x + h'(y) \;\overset{!}{=}\; N(x,y) = x - 2y.
Daí
h'(y) = -2y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -y^{2}.
Então
\varphi(x,y) = e^{x}(2 - 2x) + x\,y - 2x^{3} - y^{2}.

Passo 6

A solução geral implícita vem de
\varphi(x,y) = C,
ou seja
e^{x}(2 - 2x) + x\,y - 2x^{3} - y^{2} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

e^{x}(2 - 2x) + x\,y - 2x^{3} - y^{2} = C.

Exercícios relacionados