Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível:
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

Queremos traçar o mapa de contorno de
f(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
isto é, as curvas de nível definidas por
f(x,y)=k,
para vários valores de k.

Passo 2

Escrevendo f(x,y)=k temos
\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=k \quad\Longleftrightarrow\quad k\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-y=0.

Passo 3

Para ver que isso é um círculo, completamos o quadrado na parte envolvendo y:
k\,x^{2}+k\,y^{2}-y=0 \quad\Longrightarrow\quad k\,x^{2}+k\Bigl(y-\frac{1}{2k}\Bigr)^{2} =\frac{1}{4k}.
Dividindo ambos os lados por k, obtemos a forma padrão
x^{2}+\Bigl(y-\frac{1}{2k}\Bigr)^{2} =\frac{1}{4k^{2}}.

Passo 4

Logo, para cada nível k\neq0, a curva é um círculo de:
  • centro \bigl(0,\tfrac{1}{2k}\bigr),
  • raio \displaystyle \frac{1}{2|k|}.
    Repare que todos esses círculos passam pela origem (onde a função não está definida).

Passo 5

Alguns exemplos de curvas de nível:
  • Para k=1: centro em (0,1/2), raio 1/2.
  • Para k=2: centro em (0,1/4), raio 1/4.
  • Para k=1/2: centro em (0,1), raio 1.
  • Para k=-1: centro em (0,-1/2), raio 1/2.
  • Para k=-1/2: centro em (0,-1), raio 1.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=y/(x^{2}+y^{2}) são círculos que satisfazem
x^{2}+\Bigl(y-\tfrac{1}{2k}\Bigr)^{2} =\tfrac{1}{4k^{2}},
com centro em \bigl(0,\tfrac{1}{2k}\bigr) e raio \tfrac{1}{2|k|}, para diversos valores de k.

Exercícios relacionados