- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
x)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Avaliando as partes no ponto: o numerador em
vale e o denominador vale . Ou seja, ao aproximar de o numerador tende a e o denominador tende a .
Passo 2
Conceitos e resultados que vou usar (explicados de forma didática):
- Teorema da razão de limites: se
e com , então . Aqui esse teorema não pode ser aplicado diretamente porque o denominador tende a . - Critério de caminhos (teorema de unicidade do limite): se o limite
existe (é um número finito), então todas as sequências ou todos os caminhos que se aproximam de devem produzir o mesmo limite. Logo, para provar que o limite não existe basta encontrar duas aproximações que deem limites diferentes (inclusive sinais opostos ou infinidades diferentes). - Comportamento quando numerador tende a uma constante não nula e denominador tende a
: a razão pode divergir (tender a ou ) dependendo do sinal do denominador próximo do ponto. Mostrar duas direções com sinais opostos prova que não há limite (nem finito nem infinito único).
Passo 3
Escolho um caminho simples: fixar
e deixar
aproximar-se de
. Isso é válido porque qualquer limite multivariável deve coincidir com o limite ao longo de qualquer reta que passe pelo ponto.
Para temos
Para
Agora escrevo
com
. Substituindo:
Passo 4
Análise do limite ao longo do caminho
,
:
- Se
e , então . - Se
e , então .
Ou seja, aproximando
de
pelo ponto
obtemos comportamentos divergentes com sinais opostos dependendo de aproximarmos por cima (
) ou por baixo (
).
Passo 5
Conclusão com base nos resultados e teoremas citados:
- Encontramos duas aproximações ao ponto
que retornam limites com sinais opostos (uma tende a , outra a ). Pelo critério de caminhos, isso impede a existência de um limite único (finito) e, adicionalmente, impede que haja um limite infinito bem definido (porque não há um único comportamento infinito). - Portanto o limite pedido não existe.
Resposta
Não existe.