1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
x) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} \frac{x^{3}-x y}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \frac{x^{3}-x y}{x+y}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{3}-x y}{x+y}.
  • O ponto de interesse é (1,-1).
  • Avaliando as partes no ponto: o numerador em (1,-1) vale 1^{3}-1\cdot(-1)=2 e o denominador vale 1+(-1)=0. Ou seja, ao aproximar de (1,-1) o numerador tende a 2 e o denominador tende a 0.

Passo 2

Conceitos e resultados que vou usar (explicados de forma didática):
  • Teorema da razão de limites: se \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} h(x,y)=M com M\neq0, então \lim_{(x,y)\to(a,b)} \dfrac{g(x,y)}{h(x,y)}=\dfrac{L}{M}. Aqui esse teorema não pode ser aplicado diretamente porque o denominador tende a 0.
  • Critério de caminhos (teorema de unicidade do limite): se o limite \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) existe (é um número finito), então todas as sequências ou todos os caminhos que se aproximam de (a,b) devem produzir o mesmo limite. Logo, para provar que o limite não existe basta encontrar duas aproximações que deem limites diferentes (inclusive sinais opostos ou infinidades diferentes).
  • Comportamento quando numerador tende a uma constante não nula e denominador tende a 0: a razão pode divergir (tender a +\infty ou -\infty) dependendo do sinal do denominador próximo do ponto. Mostrar duas direções com sinais opostos prova que não há limite (nem finito nem infinito único).

Passo 3

Escolho um caminho simples: fixar x=1 e deixar y aproximar-se de -1. Isso é válido porque qualquer limite multivariável deve coincidir com o limite ao longo de qualquer reta que passe pelo ponto.
Para x=1 temos
f(1,y)=\frac{1^{3}-1\cdot y}{1+y}=\frac{1-y}{1+y}.
Agora escrevo y=-1+t com t\to0. Substituindo:
f(1,-1+t)=\frac{1-(-1+t)}{1+(-1+t)}=\frac{2-t}{t}=\frac{2}{t}-1.

Passo 4

Análise do limite ao longo do caminho x=1, y=-1+t:
  • Se t>0 e t\to0^+, então \dfrac{2}{t}-1\to+\infty.
  • Se t<0 e t\to0^-, então \dfrac{2}{t}-1\to-\infty.
Ou seja, aproximando (x,y) de (1,-1) pelo ponto (1,-1+t) obtemos comportamentos divergentes com sinais opostos dependendo de aproximarmos por cima ( t>0) ou por baixo ( t<0).

Passo 5

Conclusão com base nos resultados e teoremas citados:
  • Encontramos duas aproximações ao ponto (1,-1) que retornam limites com sinais opostos (uma tende a +\infty, outra a -\infty). Pelo critério de caminhos, isso impede a existência de um limite único (finito) e, adicionalmente, impede que haja um limite infinito bem definido (porque não há um único comportamento infinito).
  • Portanto o limite pedido não existe.

Resposta

Não existe.

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