1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
(x, y) \rightarrow(0,0) \quad x^{-}+y^{-}
v) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função quando (x,y)\to(0,0). Especificamente temos a função
f(x,y)=\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}.
O que é pedido: determinar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}
e, se o limite existir, indicar quais resultados (teoremas) foram usados; se não existir, demonstrar que não existe.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável tende para o ponto (0,0) em \mathbb{R}^2.
  • A expressão envolve potências x^{3} e y^{2} no numerador e denominador.

Passo 2

Definição e ideia-chave que vou usar (explicada de forma didática):
  • Definição de limite em \mathbb{R}^2: dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta vale |f(x,y)-L|<\varepsilon. Em palavras: todos os valores de f(x,y) suficientemente próximos da origem ficam tão perto de L quanto quisermos.
  • Teste de caminhos (teorema prático): se o limite existe (igual a L), então o limite ao longo de qualquer trajetória que vá a (0,0) também deve ser L. Portanto, se eu encontrar duas trajetórias que levam a limites diferentes, isso prova que o limite total não existe.
Vou aplicar esse teste de caminhos: calcular o limite de f ao longo de várias curvas que chegam a (0,0). Se eu encontrar dois limites distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Trajetória 1: eixo x (ou seja, y=0 e x\to 0).
  • Substituindo y=0 na função:
f(x,0)=\frac{x^{3}}{x^{3}+0}=\frac{x^{3}}{x^{3}}=1\quad\text{para }x\neq 0.
  • Portanto, ao aproximar-se de (0,0) pela reta y=0, o valor de f(x,y) é exatamente 1 (exceto no ponto exato onde a função não está bem definida pelo fato de o denominador ser 0, mas isso não interessa para o limite). Logo
\lim_{(x,0)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}} = 1.
Comentário didático: aqui usei apenas substituição direta e simplificação algébrica. Não preciso de teoremas avançados — é avaliação de uma função ao longo de um caminho.

Passo 4

Trajetória 2: eixo y (ou seja, x=0 e y\to 0).
  • Substituindo x=0 na função:
f(0,y)=\frac{0^{3}}{0^{3}+y^{2}}=\frac{0}{y^{2}}=0\quad\text{para }y\neq 0.
  • Portanto, ao aproximar-se de (0,0) pela reta x=0,
\lim_{(0,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}} = 0.
Comentário didático: novamente foi só avaliar a expressão na trajetória escolhida. Já temos dois limites diferentes (1 e 0) ao escolher duas trajetórias distintas.

Passo 5

Conclusão imediata pelo teste de caminhos:
  • Pelo teorema prático mencionado, se o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existisse, então o limite ao longo de qualquer trajetória teria que ser o mesmo. Como pelas trajetórias y=0 e x=0 obtivemos limites diferentes ( 1 e 0), isso prova que o limite global não existe.

Passo 6

Observação adicional (ilustrativa e didática): família de trajetórias que dá diferentes valores
  • Considere trajetórias do tipo y=k\,x^{3/2} com k\in\mathbb{R} e x\ge 0. Nessa curva temos y^{2}=k^{2}x^{3}.
  • Substituindo na função (para x>0):
f(x,kx^{3/2})=\frac{x^{3}}{x^{3}+k^{2}x^{3}}=\frac{x^{3}}{x^{3}(1+k^{2})}=\frac{1}{1+k^{2}}.
  • O valor limite quando (x,y)\to(0,0) por essa trajetória é, portanto,
\lim_{x\to 0^{+}} f(x,kx^{3/2})=\frac{1}{1+k^{2}}.
  • Como \dfrac{1}{1+k^{2}} depende de k, há infinitos valores possíveis ao escolher diferentes k. Isso reforça a conclusão: não existe um único limite.
Comentário didático: essa construção mostra que o comportamento da função perto da origem é muito sensível à relação entre x e y. Encontrar uma família de caminhos que produz uma família de limites diferentes é uma maneira forte de demonstrar a não existência do limite.

Passo 7

Resumo dos resultados e dos teoremas usados:
  • Usei a definição informal de limite em \mathbb{R}^{2} (descrita no Passo 2).
  • Usei o teste de caminhos: se existirem duas trajetórias que conduzem a limites distintos, então o limite em (0,0) não existe.
  • Demonstrei explicitamente duas trajetórias com limites diferentes: y=0 dá limite 1; x=0 dá limite 0. Além disso, a família y=kx^{3/2} produz o valor 1/(1+k^{2}), mostrando infinitos possíveis limites.
  • Conclusão: o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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