- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
v)
Passo 1
O enunciado pede o limite da função quando
. Especificamente temos a função
O que é pedido: determinar
e, se o limite existir, indicar quais resultados (teoremas) foram usados; se não existir, demonstrar que não existe.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável tende para o ponto
em . - A expressão envolve potências
e no numerador e denominador.
Passo 2
Definição e ideia-chave que vou usar (explicada de forma didática):
- Definição de limite em
: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que sempre que
vale
. Em palavras: todos os valores de
suficientemente próximos da origem ficam tão perto de
quanto quisermos.
- Teste de caminhos (teorema prático): se o limite existe (igual a
), então o limite ao longo de qualquer trajetória que vá a também deve ser . Portanto, se eu encontrar duas trajetórias que levam a limites diferentes, isso prova que o limite total não existe.
Vou aplicar esse teste de caminhos: calcular o limite de
ao longo de várias curvas que chegam a
. Se eu encontrar dois limites distintos, concluímos que o limite não existe.
Passo 3
Trajetória 1: eixo
(ou seja,
e
).
- Substituindo
na função:
- Portanto, ao aproximar-se de
pela reta , o valor de é exatamente (exceto no ponto exato onde a função não está bem definida pelo fato de o denominador ser , mas isso não interessa para o limite). Logo
Comentário didático: aqui usei apenas substituição direta e simplificação algébrica. Não preciso de teoremas avançados — é avaliação de uma função ao longo de um caminho.
Passo 4
Trajetória 2: eixo
(ou seja,
e
).
- Substituindo
na função:
- Portanto, ao aproximar-se de
pela reta ,
Comentário didático: novamente foi só avaliar a expressão na trajetória escolhida. Já temos dois limites diferentes (1 e 0) ao escolher duas trajetórias distintas.
Passo 5
Conclusão imediata pelo teste de caminhos:
- Pelo teorema prático mencionado, se o limite
existisse, então o limite ao longo de qualquer trajetória teria que ser o mesmo. Como pelas trajetórias e obtivemos limites diferentes ( e ), isso prova que o limite global não existe.
Passo 6
Observação adicional (ilustrativa e didática): família de trajetórias que dá diferentes valores
- Considere trajetórias do tipo
com e . Nessa curva temos . - Substituindo na função (para
):
- O valor limite quando
por essa trajetória é, portanto,
- Como
depende de , há infinitos valores possíveis ao escolher diferentes . Isso reforça a conclusão: não existe um único limite.
Comentário didático: essa construção mostra que o comportamento da função perto da origem é muito sensível à relação entre
e
. Encontrar uma família de caminhos que produz uma família de limites diferentes é uma maneira forte de demonstrar a não existência do limite.
Passo 7
Resumo dos resultados e dos teoremas usados:
- Usei a definição informal de limite em
(descrita no Passo 2). - Usei o teste de caminhos: se existirem duas trajetórias que conduzem a limites distintos, então o limite em
não existe. - Demonstrei explicitamente duas trajetórias com limites diferentes:
dá limite ; dá limite . Além disso, a família produz o valor , mostrando infinitos possíveis limites. - Conclusão: o limite pedido não existe.
Resposta
O limite não existe.