Informações dadas: as expressões algébricas dos dois limites. O objetivo é dizer o valor do limite quando ele existir, e mostrar quais resultados (teoremas) são usados; se não existir, demonstrar que não existe.
Passo 2
Resolver o primeiro limite usando regras básicas de limite e continuidade (explicação das ideias e teoremas usados).
Teoremas/fatos que vou usar e explicar:
Teorema da soma e do produto de limites: se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=M então \lim_{(x,y)\to(0,0)}(af+bg)=aL+bM para constantes a,b.
Continuidade de polinômios: funções polinomiais em x,y são contínuas em todo ponto; para função contínua f vale \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Aplicando: considere f(x,y)=4x^{2}+5y^{2}. As funções x\mapsto x^{2} e y\mapsto y^{2} são contínuas em 0. Logo
Sabendo que \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}+y^{2})=0, multiplicando por 5 dá \lim 5(x^{2}+y^{2})=0. Pelo Teorema do Confronto, a função 4x^{2}+5y^{2} tem limite 0. (Este é o mesmo resultado, só com outro teorema.)
Teorema usado aqui: Teorema do Confronto (squeeze): se g\le f\le h e \lim g=\lim h=L então \lim f=L.
Passo 4
Agora trato a parte (u): \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Estratégia didática: testar limites por diferentes curvas (trajectórias) que chegam a (0,0). Fato utilizado: se o limite existe, o valor ao aproximar por qualquer trajetória deve ser o mesmo; se eu encontrar duas trajetórias com limites diferentes, o limite não existe.
Escolho trajetórias do tipo reta passando pela origem: y=mx, onde m é constante real (inclinação). Substituo na expressão:
Observe que o resultado não depende de x (ou do quanto se aproxima), depende apenas de m. Assim, ao seguir a reta y=mx e aproximar x\to0, a expressão tende para \dfrac{1-4m^{2}}{1+m^{2}}.
Passo 5
Mostro explicitamente duas escolhas de m que dão valores diferentes, provando que o limite não existe.
Como 1\neq -\tfrac{3}{2}, a expressão tende a valores diferentes dependendo da trajetória escolhida. Pelo critério das trajetórias, o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}} não existe.
Teorema/fato usado: critério de caminho/trajectória para não-existência de limite em multivariáveis — se existir o limite, ele deve ser igual para qualquer caminho; encontrar dois caminhos com limites distintos implica que o limite não existe.
Isto depende de \theta, não de r; varia com o ângulo \theta. Por exemplo, \theta=0 dá 1, \theta=\pi/4 dá -\tfrac{3}{2}. Logo o valor depende do ângulo de aproximação e o limite não existe. Este cálculo confirma a conclusão das etapas anteriores.