1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
(x, y) \rightarrow(0,0) 4 x^{2}+5 y^{2}
u) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-4 y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine limites quando (x,y)\to(0,0). Há duas tarefas separadas:
  • Limite da função (x,y)\mapsto 4x^{2}+5y^{2} quando (x,y)\to(0,0).
  • (u) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas: as expressões algébricas dos dois limites. O objetivo é dizer o valor do limite quando ele existir, e mostrar quais resultados (teoremas) são usados; se não existir, demonstrar que não existe.

Passo 2

Resolver o primeiro limite usando regras básicas de limite e continuidade (explicação das ideias e teoremas usados).
Teoremas/fatos que vou usar e explicar:
  • Teorema da soma e do produto de limites: se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=M então \lim_{(x,y)\to(0,0)}(af+bg)=aL+bM para constantes a,b.
  • Continuidade de polinômios: funções polinomiais em x,y são contínuas em todo ponto; para função contínua f vale \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Aplicando: considere f(x,y)=4x^{2}+5y^{2}. As funções x\mapsto x^{2} e y\mapsto y^{2} são contínuas em 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2} = 0,\qquad \lim_{(x,y)\to(0,0)} y^{2} = 0.
Pela linearidade de limites (teorema da soma/produto por constante),
\lim_{(x,y)\to(0,0)} 4x^{2} = 4\cdot 0 = 0,\qquad \lim_{(x,y)\to(0,0)} 5y^{2} = 5\cdot 0 = 0,
então
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(4x^{2}+5y^{2}\bigr)=0+0=0.
Resumo didático: por continuidade (ou pelas regras de soma e produto de limites), basta avaliar a função no ponto (0,0).

Passo 3

Uma outra explicação alternativa (útil em provas quando ainda não se lembra da palavra “continuidade”) via Teorema do Confronto (squeeze):
Observação de desigualdade: para todo (x,y),
0\le 4x^{2}\le 5x^{2}\quad\text{(pois \(4\le5\) e \(x^{2}\ge0\))},
logo
0 \le 4x^{2}+5y^{2} \le 5x^{2}+5y^{2}=5\,(x^{2}+y^{2}).
Sabendo que \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}+y^{2})=0, multiplicando por 5 \lim 5(x^{2}+y^{2})=0. Pelo Teorema do Confronto, a função 4x^{2}+5y^{2} tem limite 0. (Este é o mesmo resultado, só com outro teorema.)
Teorema usado aqui: Teorema do Confronto (squeeze): se g\le f\le h e \lim g=\lim h=L então \lim f=L.

Passo 4

Agora trato a parte (u): \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Estratégia didática: testar limites por diferentes curvas (trajectórias) que chegam a (0,0). Fato utilizado: se o limite existe, o valor ao aproximar por qualquer trajetória deve ser o mesmo; se eu encontrar duas trajetórias com limites diferentes, o limite não existe.
Escolho trajetórias do tipo reta passando pela origem: y=mx, onde m é constante real (inclinação). Substituo na expressão:
Substituindo y=mx:
\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x^{2}-4(m x)^{2}}{x^{2}+(m x)^{2}} = \frac{x^{2}-4m^{2}x^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}} = \frac{x^{2}(1-4m^{2})}{x^{2}(1+m^{2})}.
Para x\neq0 podemos simplificar x^{2}:
\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\Big|_{y=mx} = \frac{1-4m^{2}}{1+m^{2}}.
Observe que o resultado não depende de x (ou do quanto se aproxima), depende apenas de m. Assim, ao seguir a reta y=mx e aproximar x\to0, a expressão tende para \dfrac{1-4m^{2}}{1+m^{2}}.

Passo 5

Mostro explicitamente duas escolhas de m que dão valores diferentes, provando que o limite não existe.
  • Para m=0 (trajetória y=0, eixo x): o valor é
\frac{1-4\cdot 0^{2}}{1+0^{2}}=\frac{1}{1}=1.
  • Para m=1 (trajetória y=x): o valor é
\frac{1-4\cdot 1^{2}}{1+1^{2}}=\frac{1-4}{2}=\frac{-3}{2}=-\tfrac{3}{2}.
Como 1\neq -\tfrac{3}{2}, a expressão tende a valores diferentes dependendo da trajetória escolhida. Pelo critério das trajetórias, o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}} não existe.
Teorema/fato usado: critério de caminho/trajectória para não-existência de limite em multivariáveis — se existir o limite, ele deve ser igual para qualquer caminho; encontrar dois caminhos com limites distintos implica que o limite não existe.

Passo 6

Complemento (opcional, reforço conceitual usando coordenadas polares): escrevendo x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta (com r\to0) obtemos
\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\cos^{2}\theta-4r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}}=\cos^{2}\theta-4\sin^{2}\theta.
Isto depende de \theta, não de r; varia com o ângulo \theta. Por exemplo, \theta=0 1, \theta=\pi/4 -\tfrac{3}{2}. Logo o valor depende do ângulo de aproximação e o limite não existe. Este cálculo confirma a conclusão das etapas anteriores.

Resposta

\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(4x^{2}+5y^{2}\bigr)=0
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}} não existe

Exercícios relacionados