Determine se o limite existe. Se existir, calcule-o.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o valor do seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas e observações iniciais que vêm do enunciado:
- A expressão a ser analisada é
. - Não há restrição no enunciado sobre o domínio de
; a expressão está definida para todo . - A pergunta é apenas se o limite existe e, se existir, qual é o valor.
Passo 2
O que significa o limite existir (em linguagem simples)?
- O limite
existe se os valores de quando se aproxima de pela esquerda e pela direita tendem ao mesmo número finito. - Para funções bem comportadas (como polinômios e funções lineares), a forma usual de calcular o limite é avaliar a função no ponto, porque a aproximação por ambos os lados dá o mesmo resultado.
Passo 3
Justificando que podemos avaliar diretamente: a função
é uma função linear (uma forma de polinômio de grau
) e funções polinomiais são contínuas em todo
. Para uma função contínua em um ponto
vale a propriedade
Portanto, aqui podemos calcular o limite simplesmente substituindo
na expressão.
Passo 4
Fazendo a substituição direta:
Passo 5
Calculando a operação aritmética:
Também poderíamos notar que as duas limites laterais coincidem:
confirmando que o limite bilateral existe e vale
.