Encontre uma solução particular para cada equação homogênea dada.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede é encontrar a solução particular (ou seja, a solução que satisfaz a condição inicial). Informações importantes que temos:
- A equação relaciona
e e contém a combinação . - A condição inicial é
.
Passo 2
Observação e escolha da substituição: quando a equação pode ser escrita em termos de
(como é o caso, pois aparece
e também temos o termo
), uma substituição útil é
Essa substituição transforma uma equação em
numa equação em
. Antes de substituir, precisamos expressar
em termos de
e
. Como
, derivando em relação a
usamos a regra do produto:
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação original:
Desenvolvendo o lado esquerdo e simplificando termos iguais:
Os termos
se cancelam nos dois lados, sobrando
Dividindo por
(aqui usamos
; a condição inicial tem
, então estamos no caso
):
Passo 4
A equação em
é separável. Reescrevemos para separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e do direito é
. Então:
Podemos rearranjar para obter uma forma mais conveniente. Definindo
(ou simplesmente escrevendo uma constante
diferente), obtemos
Como
, é necessário que
no intervalo onde a solução for válida.
Passo 5
Isolando
:
Voltando à variável original
usando
, a solução geral implícita/expressa é
com a restrição
.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Como
, isso dá
Passo 7
Substituindo
na solução geral, a solução particular que satisfaz
é
Como a condição inicial está em
, podemos trabalhar no ramo
e então escrever sem o valor absoluto:
Devemos observar a condição de validade: o argumento do logaritmo precisa ser positivo,
Portanto a solução particular está definida para
(intervalo que contém
).