Encontre uma solução particular para cada equação homogênea dada. 2 x^{2} \frac{d y}{d x}=3 x y+y^{2}, \operatorname{com} y(1)=-2;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
2x^{2}\frac{dy}{dx}=3xy+y^{2}, \qquad y(1)=-2.
O que se pede: encontrar uma solução particular y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial y(1)=-2.
Informações dadas:
A equação relaciona y, x e \dfrac{dy}{dx}.
Há uma condição inicial em x=1.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma mais explícita para enxergar sua estrutura. Dividindo por 2x^{2} (assumindo x\neq0) obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{3y}{2x}+\frac{y^{2}}{2x^{2}}.
Observe que o lado direito é uma função que depende de combinações do tipo y/x. Isso sugere a substituição padrão para equações “homogêneas de primeira ordem”: colocar
y=xu(x),
onde u(x) é uma nova função a determinar. Essa substituição transforma a equação em uma que geralmente é separável. Agora vou calcular \dfrac{dy}{dx} em termos de u.
Passo 3
Calculemos \dfrac{dy}{dx} com y=xu:
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
Substituindo y=xu e \dfrac{dy}{dx} na equação original:
Substituindo C=2 na expressão de y obtemos a solução particular:
y(x)=\frac{2x^{3/2}}{1-2x^{1/2}}.
Observação sobre domínio: durante a solução apareceu x^{1/2}, portanto assumimos x>0. Além disso é preciso 1-2\sqrt{x}\neq0, ou seja \sqrt{x}\neq\tfrac{1}{2} (x\neq\tfrac{1}{4}) para evitar divisão por zero. A condição inicial x=1 está dentro do domínio válido.