Encontre uma solução particular para cada equação homogênea dada.
2 x^{2} \frac{d y}{d x}=3 x y+y^{2}, \operatorname{com} y(1)=-2;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
2x^{2}\frac{dy}{dx}=3xy+y^{2}, \qquad y(1)=-2.
O que se pede: encontrar uma solução particular y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial y(1)=-2.
Informações dadas:
  • A equação relaciona y, x e \dfrac{dy}{dx}.
  • Há uma condição inicial em x=1.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma mais explícita para enxergar sua estrutura. Dividindo por 2x^{2} (assumindo x\neq0) obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{3y}{2x}+\frac{y^{2}}{2x^{2}}.
Observe que o lado direito é uma função que depende de combinações do tipo y/x. Isso sugere a substituição padrão para equações “homogêneas de primeira ordem”: colocar
y=xu(x),
onde u(x) é uma nova função a determinar. Essa substituição transforma a equação em uma que geralmente é separável. Agora vou calcular \dfrac{dy}{dx} em termos de u.

Passo 3

Calculemos \dfrac{dy}{dx} com y=xu:
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
Substituindo y=xu e \dfrac{dy}{dx} na equação original:
u+x\frac{du}{dx}=\frac{3}{2}\,u+\frac{1}{2}\,u^{2}.
Agora isolamos o termo com \dfrac{du}{dx}:
x\frac{du}{dx}=\frac{3}{2}u+\frac{1}{2}u^{2}-u.
Fazendo a combinação:
\frac{3}{2}u-u=\frac{1}{2}u,
portanto
x\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}u^{2}=\frac{1}{2}u(1+u).

Passo 4

A equação para u é separável. Reescrevendo:
\frac{du}{u(1+u)}=\frac{dx}{2x}.
Agora integramos ambos os lados. Para a integral à esquerda usamos frações parciais:
\frac{1}{u(1+u)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}.
Integrando:
\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}\right)du=\int\frac{dx}{2x}.
As integrais dão
\ln|u|-\ln|1+u|=\frac{1}{2}\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Combinar os logaritmos:
\ln\left|\frac{u}{1+u}\right|=\frac{1}{2}\ln|x|+C.
Exponenciando ambos os lados (absorvendo o sinal em uma constante C arbitrária) obtemos
\frac{u}{1+u}=C x^{1/2},
onde agora C representa uma constante real (pos/neg conforme necessário). Resolver algebricamente para u:
u=Cx^{1/2}(1+u)\quad\Rightarrow\quad u-Cx^{1/2}u=Cx^{1/2}.
Fatorando u:
u(1-Cx^{1/2})=Cx^{1/2},
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u=\frac{Cx^{1/2}}{1-Cx^{1/2}}.

Passo 6

Voltando para y via y=xu:
y=x\cdot\frac{Cx^{1/2}}{1-Cx^{1/2}}=\frac{C x^{3/2}}{1-Cx^{1/2}}.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=-2. Substituindo x=1:
-2=\frac{C\cdot 1^{3/2}}{1-C\cdot 1^{1/2}}=\frac{C}{1-C}.
Resolva para C:
\frac{C}{1-C}=-2 \quad\Rightarrow\quad C=-2(1-C)=-2+2C.
Então
C-2C=-2\quad\Rightarrow\quad -C=-2\quad\Rightarrow\quad C=2.

Passo 7

Substituindo C=2 na expressão de y obtemos a solução particular:
y(x)=\frac{2x^{3/2}}{1-2x^{1/2}}.
Observação sobre domínio: durante a solução apareceu x^{1/2}, portanto assumimos x>0. Além disso é preciso 1-2\sqrt{x}\neq0, ou seja \sqrt{x}\neq\tfrac{1}{2} ( x\neq\tfrac{1}{4}) para evitar divisão por zero. A condição inicial x=1 está dentro do domínio válido.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{2x^{3/2}}{1-2x^{1/2}}

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