Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.
(c) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}.
Trata-se de um limite de função de duas variáveis. Como o numerador é uma diferença de raízes, vamos usar racionalização para simplificar a expressão antes de calcular o limite.

Passo 2

Para x\neq y multiplico numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{y}:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x-y}{(x-y)\,(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.
Portanto, para (x,y) próximos de (1,1) com x\neq y, a função vale \tfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.

Passo 3

A função \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} é contínua em (1,1). Logo,
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} =\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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