Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.
(e) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \ln \left(1+x^{2} y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\ln\bigl(1+x^2y^3\bigr).
O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis e continuidade da função \ln em seu ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro examinamos o comportamento de x^2y^3 quando (x,y)\to(0,0). Note que
\bigl|x^2y^3\bigr| = |x|^2\,|y|^3
e como |x|\to0 e |y|\to0, segue que
|x|^2\,|y|^3 \;\longrightarrow\;0.
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\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2y^3 = 0.

Passo 3

Como 1+x^2y^3\to1 e a função \ln t é contínua em t=1, podemos aplicar o teorema da continuidade composta:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\ln\bigl(1+x^2y^3\bigr) =\ln\Bigl(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(1+x^2y^3)\Bigr) =\ln(1)=0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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