Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.
(f) \lim _{(x, y) \rightarrow(4,-2)} x \sqrt[3]{y^{3}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} x \sqrt[3]{y^{3}+2x}.
O conteúdo necessário é noções de limite e continuidade de funções elementares (polinômios, raiz cúbica e produto).

Passo 2

Como as operações de soma, multiplicação e raiz cúbica são contínuas em todo \mathbb{R}, podemos separar a expressão em
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} x \sqrt[3]{y^{3}+2x} = \Bigl(\lim_{(x,y)\to(4,-2)} x\Bigr) \;\cdot\; \sqrt[3]{\lim_{(x,y)\to(4,-2)}\bigl(y^{3}+2x\bigr)}.

Passo 3

Calculamos os limites individuais:
\lim_{(x,y)\to(4,-2)} x = 4, \qquad \lim_{(x,y)\to(4,-2)}\bigl(y^{3}+2x\bigr) = (-2)^{3} + 2\cdot4 = -8 + 8 = 0.
Logo
\sqrt[3]{\lim_{(x,y)\to(4,-2)}(y^{3}+2x)} = \sqrt[3]{0} = 0.

Passo 4

Multiplicando os resultados, obtemos
4 \times 0 = 0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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