Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,1) 4-x yx^2+3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para determinar o limite da função 4 - xyx^2 + 3y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (2, 1). Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como os limites funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de x e y no ponto para ver se conseguimos encontrar o limite. Isso significa substituir x = 2 e y = 1 na função.

Passo 3

Substituindo na função, temos:
4 - (2)(1)2^2 + 3(1)^2 = 4 - 24 + 3 = 27
Então, a substituição direta nos dá 27.

Passo 4

Mas, como estamos lidando com duas variáveis, precisamos garantir que o limite seja o mesmo independente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto (2, 1). Para isso, podemos verificar alguns caminhos diferentes e ver se o limite permanece constante.

Passo 5

Vamos considerar dois caminhos simples:
  1. Caminho 1: y = 1 e x 2.
    Substituindo, temos:
    4 - x cdot 1x^2 + 3(1)^2 = 4 - xx^2 + 3
    Quando x 2, isso se torna 4 - 24 + 3 = 27.
  2. Caminho 2: x = 2 e y 1.
    Substituindo, temos:
    4 - 2y2^2 + 3y^2 = 4 - 2y4 + 3y^2
    Quando y 1, isso também se torna 4 - 2 cdot 14 + 3 cdot 1 = 27.

Passo 6

Como os limites são iguais para esses dois caminhos diferentes, isso sugere que o limite existe e é igual a 27. Para ter certeza completa, geralmente verificaríamos mais caminhos, mas para fins deste exercício, podemos concluir que o limite é 27.

Resposta

27

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