(a) Mostre que, tomando logaritmos, a função geral de Cobb-Douglas P = b * L^α * K^(1-α) pode ser expressa como
ln(P/K) = ln(b) + alpha * ln(L/K)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de Cobb-Douglas que é dada por . Nosso objetivo é mostrar que, ao tirar o logaritmo dessa função, ela pode ser reescrita como . Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e manipular exponenciais pra chegar nessa forma simplificada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação original. Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade do logaritmo que diz que . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Em seguida, aplicamos a propriedade para os termos dentro do logaritmo:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar os termos para isolar . Subtraímos de ambos os lados:
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Finalmente, podemos fatorar o dos termos com e :
E lembrando que , então:

Resposta

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