(a) Mostre que, tomando logaritmos, a função geral de Cobb-Douglas
pode ser expressa como
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de Cobb-Douglas que é dada por
. Nosso objetivo é mostrar que, ao tirar o logaritmo dessa função, ela pode ser reescrita como
. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e manipular exponenciais pra chegar nessa forma simplificada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação original. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade do logaritmo que diz que
. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Em seguida, aplicamos a propriedade
para os termos dentro do logaritmo:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar
. Subtraímos
de ambos os lados:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Finalmente, podemos fatorar o
dos termos com
e
:
E lembrando que
, então: