Use um computador para investigar a família de superfícies z = x^2 + y^2 + c * x * y. Em particular, você deve determinar os valores de transição de c para os quais a superfície muda de um tipo de superfície quádrica para outro

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos a superfície dada por . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa superfície muda de um tipo de superfície quadrática para outro. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e geometria analítica para classificar a superfície com base nos coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite a análise. A equação é:
Podemos pensar nisso como uma equação quadrática em e , onde os termos e têm coeficientes iguais a 1, e o termo cruzado é .

Passo 3

Para classificar a superfície quadrática, olhamos para o discriminante da parte quadrática da equação. Em geral, para uma equação do tipo:
O discriminante é dado por .
No nosso caso, temos:
Então,

Passo 4

Agora, vamos analisar o discriminante :
  • Se , a superfície é um elipsoide.
  • Se , a superfície é um paraboloide circular.
  • Se , a superfície é um hiperboloide.
Estamos interessados nos valores de que fazem a transição entre esses tipos de superfície, ou seja, quando .

Passo 5

Vamos resolver a equação :

Passo 6

Portanto, os valores de que fazem a superfície mudar de tipo são e . Esses são os pontos de transição onde a superfície passa de elipsoide para paraboloide circular ou para hiperboloide.

Resposta

Os valores de transição de são e .

Exercícios relacionados