Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0) x y-y zx^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite lim(x,y,z)to(0,0,0) xy - yzx^2 + y^2 + z^2. O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis, e vamos precisar verificar se o valor depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Para limites em várias variáveis, se encontrarmos dois caminhos que levem a valores diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

No caminho x=t, y=t, z=0 com tto0, substituindo na função obtemos tcdot t - tcdot0t^2 + t^2 +0 = t^22t^2 = 12.
No caminho x=t, y=0, z=0 com tto0, a expressão fica tcdot0 - 0cdot0t^2 + 0 +0 = 0.

Passo 4

Como um caminho dá tfrac12 e outro dá 0, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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