Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
x^2 y^2+(x^3 y3+y) y^prime=0
(1 pt) Sabendo que y é uma função definida em (0,+infty). Determine a solução para (star) satisfazendo y(2)=6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
x^2y^2+l(x^3y3+yr)y'=0
com condição inicial y(2)=6. Para isso vamos reescrever como forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 e procurar um fator integrante dependendo só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^2y^2, N(x,y)=x^3y3+y
Calculamos
partial Mpartial y=2x^2y, partial Npartial x=x^2y
Como
partial M/partial y-partial N/partial xN=2x^2y-x^2y(x^3y/3)+y=x^2x^3/3+1=3x^2x^3+3
é função só de x, existe fator integrante mu(x)=e^integral3x^2/(x^3+3),dx=x^3+3.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^3+3. Ficamos com a forma exata
M^*(x,y)=x^2y^2(x^3+3), N^*(x,y)=y(x^3+3)^23
Procuramos uma potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M^*(x,y), partial Psipartial y=N^*(x,y)

Passo 4

Integramos M^* em relação a x:
Psi(x,y)=y^2integral x^2(x^3+3),dx+h(y)=y^2l(x^66+x^3r)+h(y)
Derivando isso em y e igualando a N^* encontramos
h'(y)=3yimplies h(y)=3y^22
Então a solução implícita é
y^2l(x^66+x^3r)+3y^22=C

Passo 5

Simplificamos o termo entre parênteses
x^66+x^3+32=x^6+6x^3+96=(x^3+3)^26
e obtemos
(x^3+3)^2y^26=CLongrightarrow(x^3+3)y=K
para alguma constante K. Aplicando y(2)=6
(2^3+3)cdot6=11cdot6=66=K
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y=66x^3+3

Resposta

y=dfrac66x^3+3

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