Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
g) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{x^{2} y e^{y}}{x^{4}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x^{2}y\,e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}
Isso envolve limites de funções de duas variáveis e o uso de continuidade de funções compostas (polinômios e exponencial). Para resolver, vamos verificar se o denominador é não nulo no ponto e então aplicar a propriedade de continuidade.

Passo 2

Calcular o denominador em (1,2):
x^{4}+4y^{2}\Big|_{(1,2)} = 1^{4} + 4\cdot2^{2} = 1 + 16 = 17 \neq 0.
Como o denominador não se anula, a expressão é bem definida e contínua em (1,2).

Passo 3

A função
g(x,y)=\frac{x^{2}y\,e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}
é quociente de funções contínuas (polinômios e e^{y}) com denominador não nulo em (1,2). Logo, g é contínua nesse ponto e
\lim_{(x,y)\to(1,2)}g(x,y)=g(1,2).

Passo 4

Calcular g(1,2):
g(1,2)=\frac{1^{2}\cdot2\;e^{2}}{1^{4}+4\cdot2^{2}} =\frac{2e^{2}}{17}.

Resposta

\displaystyle \frac{2e^{2}}{17}

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