Se f(x, y)=16-4 x^{2}-y^{2}, determine f_{x}(1,0) e f_{y}(1,0) e interprete esses números como inclinações.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=16-4x^{2}-y^{2}
e pede as derivadas parciais \,f_{x}(1,0) e \,f_{y}(1,0). Vamos usar a definição de derivada parcial, que consiste em derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa, e depois avaliar no ponto dado.

Passo 2

Derivando em relação a x e mantendo y constante, temos
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(16-4x^{2}-y^{2}\bigr)=-8x.
Derivando em relação a y e mantendo x constante, obtemos
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(16-4x^{2}-y^{2}\bigr)=-2y.

Passo 3

Agora avaliamos essas expressões no ponto (1,0):
f_{x}(1,0)=-8\cdot1=-8,
f_{y}(1,0)=-2\cdot0=0.

Passo 4

Interpretando esses valores como inclinações:
  • \,f_{x}(1,0)=-8 significa que, fixando y=0, se x aumentar uma unidade a partir de 1, o valor de f diminui cerca de 8 unidades. É a inclinação da curva de nível ao longo da direção x.
  • \,f_{y}(1,0)=0 indica que, fixando x=1, mudanças infinitesimais em y não alteram f naquele ponto; a superfície está “plana” na direção y.

Resposta

f_{x}(1,0)=-8 f_{y}(1,0)=0

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