Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
e) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}.
O conteúdo principal é análise de limites de funções de duas variáveis e uso de continuidade. Vamos verificar se há indeterminação e, em caso negativo, usar substituição direta.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}.
Para aplicar a continuidade, precisamos checar se o denominador em (1,2) é diferente de zero. Calculamos
\sqrt{1^{2}+2^{2}+1}-1=\sqrt{6}-1\neq 0,
logo não há indeterminação.

Passo 3

Como tanto o numerador x^{2}+y^{2} quanto o denominador \sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1 são funções contínuas em torno de (1,2) e o denominador não zera nesse ponto, podemos fazer a substituição direta:
\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y) =\frac{1^{2}+2^{2}}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+1}-1} =\frac{5}{\sqrt{6}-1}.

Passo 4

Para simplificar, racionalizamos o denominador:
\frac{5}{\sqrt{6}-1} =\frac{5(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)} =\frac{5(\sqrt{6}+1)}{6-1} =\sqrt{6}+1.

Resposta

\sqrt{6}+1

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