Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{9 x^{4}-16 y^{4}}{3 x^{2}+4 y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{9x^{4}-16y^{4}}{3x^{2}+4y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a estudar é f(x,y)=\dfrac{9x^{4}-16y^{4}}{3x^{2}+4y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Observação importante: o denominador é 3x^{2}+4y^{2}, que é não negativo e pode ser zero apenas em (0,0). Para o cálculo do limite consideramos pontos com (x,y)\neq(0,0).

Passo 2

Vamos manipular a expressão algébrica para simplificar. Note que podemos ver o numerador como diferença de quadrados usando a=3x^{2} e b=4y^{2}. Então aplicamos a identidade a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b):
9x^{4}-16y^{4}=(3x^{2})^{2}-(4y^{2})^{2}=(3x^{2}-4y^{2})(3x^{2}+4y^{2}).
Substituindo na fração obtemos, para todo (x,y) tal que (x,y)\neq(0,0) (assim o denominador é estritamente positivo),
\frac{9x^{4}-16y^{4}}{3x^{2}+4y^{2}}=\frac{(3x^{2}-4y^{2})(3x^{2}+4y^{2})}{3x^{2}+4y^{2}}=3x^{2}-4y^{2}.
Comentário prático: a divisão pela quantidade 3x^{2}+4y^{2} é legítima para todos os pontos próximos de (0,0) exceto o próprio (0,0), porque 3x^{2}+4y^{2}=0 só quando x=0 e y=0.

Passo 3

Agora o limite do problema transforma-se no limite de uma expressão muito mais simples:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{9x^{4}-16y^{4}}{3x^{2}+4y^{2}}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(3x^{2}-4y^{2}\bigr).
Como 3x^{2}-4y^{2} é um polinômio em x,y (portanto contínuo), o limite ao ponto (0,0) é simplesmente o valor da função nesse ponto:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(3x^{2}-4y^{2}\bigr)=3\cdot 0^{2}-4\cdot 0^{2}=0.
Se quiser uma justificativa \varepsilon- \delta rápida: note que
\bigl|3x^{2}-4y^{2}\bigr|\le 3x^{2}+4y^{2}\le 4(x^{2}+y^{2}).
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\sqrt{\varepsilon/4}. Então, se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos 4(x^{2}+y^{2})<\varepsilon, logo \bigl|3x^{2}-4y^{2}\bigr|<\varepsilon. Isso mostra que o limite vale 0.

Resposta

0

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