A função a estudar é f(x,y)=\dfrac{9x^{4}-16y^{4}}{3x^{2}+4y^{2}}.
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
Observação importante: o denominador é 3x^{2}+4y^{2}, que é não negativo e pode ser zero apenas em (0,0). Para o cálculo do limite consideramos pontos com (x,y)\neq(0,0).
Passo 2
Vamos manipular a expressão algébrica para simplificar. Note que podemos ver o numerador como diferença de quadrados usando a=3x^{2} e b=4y^{2}. Então aplicamos a identidade a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b):
Comentário prático: a divisão pela quantidade 3x^{2}+4y^{2} é legítima para todos os pontos próximos de (0,0) exceto o próprio (0,0), porque 3x^{2}+4y^{2}=0 só quando x=0 e y=0.
Passo 3
Agora o limite do problema transforma-se no limite de uma expressão muito mais simples:
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\sqrt{\varepsilon/4}. Então, se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos 4(x^{2}+y^{2})<\varepsilon, logo \bigl|3x^{2}-4y^{2}\bigr|<\varepsilon. Isso mostra que o limite vale 0.