A função estudada é f(x,y)=\dfrac{9\sqrt{2}\,y^{3}x}{5\sqrt{x^{2}+y^{2}}} (definida para (x,y)\neq(0,0)).
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
Queremos saber se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Vou usar duas ideias simples e úteis para limites em duas variáveis: a substituição por coordenadas polares (que separa a parte radial do comportamento angular) e o princípio do aperto (squeeze theorem). Essas ferramentas são eficientes porque a expressão tem uma raiz quadrada \sqrt{x^2+y^2} no denominador, que sugere trabalhar com r=\sqrt{x^2+y^2}.
Passo 3
Faço a substituição em coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 e \theta é o ângulo. Ao nos aproximarmos de (0,0) equivale a r\to 0^+ (o ângulo \theta pode variar livremente). Substituindo na função:
Como r\to 0^+ implica r^{3}\to 0, o lado direito tende a 0. Pelo princípio do aperto (squeeze theorem), o valor da expressão tende a 0 independentemente de \theta.
Passo 6
Para ficar ainda mais na mão: podemos também obter a mesma desigualdade sem polar, usando |x|\le r e |y|\le r. Tem-se
e novamente \frac{9\sqrt{2}}{5}\,r^{3}\to 0 quando r\to 0. Isso mostra diretamente que a função fica arbitrariamente pequena perto da origem, portanto o limite existe e é 0.
Passo 7
Conclusão rigorosa: a expressão tende a 0 quando (x,y)\to(0,0), porque seu valor absoluto é limitado por uma constante vezes r^{3} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, e r^{3}\to 0.