Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{9 \sqrt{2} y^{3} x}{5 \sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{9\sqrt{2}\,y^{3}x}{5\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função estudada é f(x,y)=\dfrac{9\sqrt{2}\,y^{3}x}{5\sqrt{x^{2}+y^{2}}} (definida para (x,y)\neq(0,0)).
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Queremos saber se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Vou usar duas ideias simples e úteis para limites em duas variáveis: a substituição por coordenadas polares (que separa a parte radial do comportamento angular) e o princípio do aperto (squeeze theorem). Essas ferramentas são eficientes porque a expressão tem uma raiz quadrada \sqrt{x^2+y^2} no denominador, que sugere trabalhar com r=\sqrt{x^2+y^2}.

Passo 3

Faço a substituição em coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 e \theta é o ângulo. Ao nos aproximarmos de (0,0) equivale a r\to 0^+ (o ângulo \theta pode variar livremente). Substituindo na função:
y^{3}x=(r\sin\theta)^{3}(r\cos\theta)=r^{4}\sin^{3}\theta\cos\theta
e
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão original obtemos (mostrando passo a passo):
\frac{9\sqrt{2}\,y^{3}x}{5\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{9\sqrt{2}\; r^{4}\sin^{3}\theta\cos\theta}{5r} = \frac{9\sqrt{2}}{5}\; r^{3}\sin^{3}\theta\cos\theta.

Passo 5

Agora analisamos a expressão obtida. O fator angular \sin^{3}\theta\cos\theta é limitado: para todo \theta temos
\bigl|\sin^{3}\theta\cos\theta\bigr|\le 1,
pois |\sin\theta|\le 1 e |\cos\theta|\le 1. Portanto
\left|\frac{9\sqrt{2}}{5}\; r^{3}\sin^{3}\theta\cos\theta\right| \le \frac{9\sqrt{2}}{5}\; r^{3}.
Como r\to 0^+ implica r^{3}\to 0, o lado direito tende a 0. Pelo princípio do aperto (squeeze theorem), o valor da expressão tende a 0 independentemente de \theta.

Passo 6

Para ficar ainda mais na mão: podemos também obter a mesma desigualdade sem polar, usando |x|\le r e |y|\le r. Tem-se
\left|\frac{9\sqrt{2}\,y^{3}x}{5\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| = \frac{9\sqrt{2}}{5}\,\frac{|x||y|^{3}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le \frac{9\sqrt{2}}{5}\,\frac{r\cdot r^{3}}{r} = \frac{9\sqrt{2}}{5}\,r^{3},
e novamente \frac{9\sqrt{2}}{5}\,r^{3}\to 0 quando r\to 0. Isso mostra diretamente que a função fica arbitrariamente pequena perto da origem, portanto o limite existe e é 0.

Passo 7

Conclusão rigorosa: a expressão tende a 0 quando (x,y)\to(0,0), porque seu valor absoluto é limitado por uma constante vezes r^{3} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, e r^{3}\to 0.

Resposta

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