Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(-3,1)} \frac{3 x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, ou mostrar que não existe, do seguinte quociente quando (x,y) tende para o ponto (-3,1):
\lim_{(x,y)\to(-3,1)} \frac{3x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a ser estudada é a função racional (x,y)\mapsto \dfrac{3x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (-3,1).
  • A pergunta é: o limite existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Primeira verificação importante: avaliar o denominador no ponto dado, porque se o denominador for zero a análise fica mais complicada (possível descontinuidade, necessidade de verificar limites por caminhos). Vamos calcular x^{2}-y^{2} em (x,y)=(-3,1).

Passo 3

Calculemos explicitamente o denominador em (-3,1):
(-3)^{2}-1^{2}=9-1=8.
Como o denominador no ponto vale \,8\neq 0, a função é do tipo quociente de polinômios com denominador diferente de zero naquele ponto.

Passo 4

Explicação teórica curta e prática (aula rápida): polinômios em \mathbb{R}^{2} são funções contínuas; quociente de duas funções contínuas é contínuo em pontos onde o denominador é diferente de zero. Portanto, se o denominador em (-3,1) é não nulo, a função dada é contínua em (-3,1). Para limites em funções contínuas de duas variáveis, vale a substituição direta: o limite quando (x,y)\to(a,b) de f(x,y) é f(a,b) quando f é contínua em (a,b).

Passo 5

Com base no passo anterior, podemos avaliar o limite substituindo (x,y)=(-3,1) diretamente na expressão. Antes, calculemos o numerador em (-3,1):
3x^{2}+xy+y^{2}\bigg|_{(x,y)=(-3,1)} = 3\cdot(-3)^{2}+(-3)\cdot 1 + 1^{2}.

Passo 6

Agora efetuamos as contas do numerador passo a passo:
3\cdot(-3)^{2}=3\cdot 9=27,
(-3)\cdot 1 = -3,
1^{2}=1.
Somando:
27 + (-3) + 1 = 27-3+1 = 25.

Passo 7

Temos numerador 25 e, do passo 3, denominador 8. Portanto a substituição direta dá o valor
\frac{25}{8}.
Como a função é contínua no ponto (denominador não nulo), o limite existe e é igual a esse valor obtido por substituição.

Resposta

\dfrac{25}{8}

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