A função a ser estudada é a função racional (x,y)\mapsto \dfrac{3x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
O ponto de interesse é (-3,1).
A pergunta é: o limite existe? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Primeira verificação importante: avaliar o denominador no ponto dado, porque se o denominador for zero a análise fica mais complicada (possível descontinuidade, necessidade de verificar limites por caminhos). Vamos calcular x^{2}-y^{2} em (x,y)=(-3,1).
Passo 3
Calculemos explicitamente o denominador em (-3,1):
(-3)^{2}-1^{2}=9-1=8.
Como o denominador no ponto vale \,8\neq 0, a função é do tipo quociente de polinômios com denominador diferente de zero naquele ponto.
Passo 4
Explicação teórica curta e prática (aula rápida): polinômios em \mathbb{R}^{2} são funções contínuas; quociente de duas funções contínuas é contínuo em pontos onde o denominador é diferente de zero. Portanto, se o denominador em (-3,1) é não nulo, a função dada é contínua em (-3,1). Para limites em funções contínuas de duas variáveis, vale a substituição direta: o limite quando (x,y)\to(a,b) de f(x,y) é f(a,b) quando f é contínua em (a,b).
Passo 5
Com base no passo anterior, podemos avaliar o limite substituindo (x,y)=(-3,1) diretamente na expressão. Antes, calculemos o numerador em (-3,1):