Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, se existir, o valor do limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - A pergunta é: o limite existe? Se sim, qual é o seu valor; se não, mostrar que não existe.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se a expressão faz sentido no ponto alvo e em um vizinhança dele (isso é importante porque
pode não estar definida em certos pontos). Avaliando em
temos:
logo
pois
e
,
. Portanto a expressão está bem definida em
e o valor da função no ponto é
Passo 3
Vou explicar a ideia matemática que usarei (passo-a-passo, como na prova): se duas funções têm limites quando a variável tende ao ponto e uma delas é contínua, podemos calcular o limite fator a fator. Em particular, se
e estes limites existem, então
Agora vou calcular
e
separadamente, justificando por que cada cálculo é permitido.
Passo 4
Cálculo de
.
- A função
é um polinômio em , logo contínua em todo lugar. Portanto quando tem-se . - A função
é contínua em todo . Composição de contínuas é contínua, então é contínua em . - Assim
Passo 5
Cálculo de
.
- Primeiro note que a função
é contínua (produto de coordenadas contínuas). Como e , temos
- A tangente
é contínua em todo tal que . No ponto temos , logo é contínua em . Há, portanto, uma vizinhança de onde está bem definida e contínua. - Pela continuidade de
em e pelo limite anterior de ,
Passo 6
Agora multiplicamos os limites obtidos (produto de limites existe quando ambos existem):
Breve observação para a prova: não há problema de valores indefinidos de
em pontos próximos porque existe uma vizinhança de
onde
não zera; assim a composição é válida numa vizinhança do ponto limite.
Passo 7
Resumo final do raciocínio (modo de prova curto que vale na prova):
-
quando . -
quando , e é contínua em , logo . - Produto tende a
. Portanto o limite existe e vale .