Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(\pi, 0,1)} e^{y^{2}} \operatorname{tg}(x z)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, o valor do limite
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}}\operatorname{tg}(xz).
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y,z)=e^{y^{2}}\operatorname{tg}(xz).
  • O ponto de interesse é (x,y,z)=(\pi,0,1).
  • A pergunta é: o limite existe? Se sim, qual é o seu valor; se não, mostrar que não existe.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a expressão faz sentido no ponto alvo e em um vizinhança dele (isso é importante porque \operatorname{tg} pode não estar definida em certos pontos). Avaliando em (\pi,0,1) temos:
y^{2}=0,\qquad xz=\pi\cdot1=\pi,
logo
e^{y^{2}}=e^{0}=1, \qquad \operatorname{tg}(\pi)=0,
pois \operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e \sin\pi=0, \cos\pi=-1\neq0. Portanto a expressão está bem definida em (\pi,0,1) e o valor da função no ponto é
f(\pi,0,1)=1\cdot 0=0.

Passo 3

Vou explicar a ideia matemática que usarei (passo-a-passo, como na prova): se duas funções têm limites quando a variável tende ao ponto e uma delas é contínua, podemos calcular o limite fator a fator. Em particular, se
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}}=L_1 \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} \operatorname{tg}(xz)=L_2,
e estes limites existem, então
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}}\operatorname{tg}(xz)=L_1\cdot L_2.
Agora vou calcular L_1 e L_2 separadamente, justificando por que cada cálculo é permitido.

Passo 4

Cálculo de L_1=\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}}.
  • A função y\mapsto y^{2} é um polinômio em y, logo contínua em todo lugar. Portanto quando y\to0 tem-se y^{2}\to0.
  • A função t\mapsto e^{t} é contínua em todo \mathbb{R}. Composição de contínuas é contínua, então y\mapsto e^{y^{2}} é contínua em y=0.
  • Assim
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}} = e^{\,\lim_{y\to0} y^{2}} = e^{0} = 1.

Passo 5

Cálculo de L_2=\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} \operatorname{tg}(xz).
  • Primeiro note que a função (x,z)\mapsto xz é contínua (produto de coordenadas contínuas). Como x\to\pi e z\to1, temos
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} xz = \pi\cdot 1 = \pi.
  • A tangente \operatorname{tg}(t)=\dfrac{\sin t}{\cos t} é contínua em todo t tal que \cos t\neq0. No ponto t=\pi temos \cos\pi=-1\neq0, logo \operatorname{tg} é contínua em t=\pi. Há, portanto, uma vizinhança de \pi onde \operatorname{tg} está bem definida e contínua.
  • Pela continuidade de \operatorname{tg} em \pi e pelo limite anterior de xz,
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} \operatorname{tg}(xz) = \operatorname{tg}\!\bigl(\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} xz\bigr) = \operatorname{tg}(\pi) = 0.

Passo 6

Agora multiplicamos os limites obtidos (produto de limites existe quando ambos existem):
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}}\operatorname{tg}(xz) = \left(\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}}\right)\cdot\left(\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} \operatorname{tg}(xz)\right) = 1\cdot 0 = 0.
Breve observação para a prova: não há problema de valores indefinidos de \operatorname{tg} em pontos próximos porque existe uma vizinhança de \pi onde \cos não zera; assim a composição é válida numa vizinhança do ponto limite.

Passo 7

Resumo final do raciocínio (modo de prova curto que vale na prova):
  • e^{y^{2}}\to1 quando y\to0.
  • xz\to\pi quando (x,z)\to(\pi,1), e \operatorname{tg} é contínua em \pi, logo \operatorname{tg}(xz)\to0.
  • Produto tende a 1\cdot0=0. Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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