Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão que vamos estudar é
. - O ponto de interesse é
. - A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o valor; se não, mostrar que não existe.
Passo 2
Estratégia conceitual (sem calcular ainda): para limites de funções de duas variáveis uma maneira simples de provar que o limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias (dois caminhos) que levam a
e que dão limites diferentes. Se encontrarmos duas tais trajetórias, concluímos que o limite total não existe. Vou aplicar isso testando caminhos simples: os eixos
e
, que costumam ser os primeiros a checar porque simplificam muito a expressão.
Passo 3
Limite ao longo da reta
.
Substituindo
na expressão obtemos
para todo
. Portanto, ao aproximar
temos
Esse é um dos limites ao longo de um caminho.
Passo 4
Limite ao longo da reta
.
Substituindo
na expressão obtemos
Agora usamos o fato fundamental sobre a função seno:
. (Isto é clássico: por exemplo pode ser obtido pela desigualdade
para
e passando ao limite, ou por expansão em série.) Ao elevar ao quadrado obtemos
Portanto
Passo 5
Conclusão usando os dois caminhos encontrados.
Pelo Passo 3, ao aproximar por
o valor tende a
.
Pelo Passo 4, ao aproximar por o valor tende a
.
Pelo Passo 4, ao aproximar por
Como os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes (
), o limite total quando
não pode existir. (Em multivariáveis, se o limite existe ele deve ser o mesmo por qualquer caminho; encontrar dois caminhos com limites diferentes basta para concluir a não existência.)
Resposta
O limite não existe.