Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2} y}{2 x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão que vamos estudar é \dfrac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o valor; se não, mostrar que não existe.

Passo 2

Estratégia conceitual (sem calcular ainda): para limites de funções de duas variáveis uma maneira simples de provar que o limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias (dois caminhos) que levam a (0,0) e que dão limites diferentes. Se encontrarmos duas tais trajetórias, concluímos que o limite total não existe. Vou aplicar isso testando caminhos simples: os eixos y=0 e x=0, que costumam ser os primeiros a checar porque simplificam muito a expressão.

Passo 3

Limite ao longo da reta y=0.
Substituindo y=0 na expressão obtemos
\frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}0}{2x^{2}+0^{2}} =\frac{x^{2}-0}{2x^{2}}=\frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2},
para todo x\neq0. Portanto, ao aproximar (x,0)\to(0,0) temos
\lim_{(x,0)\to(0,0)} \frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2}.
Esse é um dos limites ao longo de um caminho.

Passo 4

Limite ao longo da reta x=0.
Substituindo x=0 na expressão obtemos
\frac{0^{2}-\operatorname{sen}^{2}y}{2\cdot0^{2}+y^{2}} =\frac{-\operatorname{sen}^{2}y}{y^{2}}=-\frac{\operatorname{sen}^{2}y}{y^{2}}.
Agora usamos o fato fundamental sobre a função seno: \displaystyle \lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1. (Isto é clássico: por exemplo pode ser obtido pela desigualdade \cos y\le\frac{\sin y}{y}\le1 para y>0 e passando ao limite, ou por expansão em série.) Ao elevar ao quadrado obtemos
\lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen}^{2}y}{y^{2}}=\left(\lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen}y}{y}\right)^{2}=1^{2}=1.
Portanto
\lim_{(0,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}=-1.

Passo 5

Conclusão usando os dois caminhos encontrados.
Pelo Passo 3, ao aproximar por y=0 o valor tende a \tfrac{1}{2}.
Pelo Passo 4, ao aproximar por x=0 o valor tende a -1.
Como os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes ( \tfrac{1}{2}\neq -1), o limite total quando (x,y)\to(0,0) não pode existir. (Em multivariáveis, se o limite existe ele deve ser o mesmo por qualquer caminho; encontrar dois caminhos com limites diferentes basta para concluir a não existência.)

Resposta

O limite não existe.

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