Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer o mapa de contorno (várias curvas de nível) da função
.
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A função é
. - O domínio é
exceto o ponto , porque em temos divisão por zero. - O pedido específico: desenhar/mostrar várias curvas de nível (ou seja, as curvas onde
para diferentes constantes ).
Passo 2
O que é uma curva de nível e como obtê-la para esta função.
Definição rápida e prática: uma curva de nível para um valor fixo
é o conjunto de pontos
tais que
.
Aplicando isso à função dada:
Invertendo ambos os lados (válido se
):
Conclusão: para cada
que torne o lado direito positivo, a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
Observação sobre sinal de
: como
e
sempre que definido, só existem curvas de nível para
. Não há curvas para
. Além disso,
corresponde a
(singularidade na origem) e
corresponde a
.
Passo 3
Escolha prática de alguns valores de nível para desenhar (dica para a prova: escolher
que dão raios inteiros facilita o rascunho).
Se escolhermos
com
, então
Portanto os níveis e raios ficam bem simples. Exemplos concretos:
- Para
temos (círculo de raio ). - Para
temos (círculo de raio ). - Para
temos (círculo de raio ). - Para
temos (círculo de raio ). - Para
temos (círculo de raio ).
Esses níveis dão um conjunto de círculos concêntricos fáceis de desenhar e de rotular com o valor de
correspondente.
Passo 4
Como montar o rascunho do mapa de contorno passo a passo (instruções práticas).
- Desenhe os eixos
e e marque a origem. - Trace círculos centrados na origem com raios
(ou outros raios que preferir). Cada círculo corresponde a um nível. - Ao lado de cada círculo escreva o valor de
constante naquela curva. Usando os exemplos acima, os rótulos seriam: - círculo
: , - círculo
: , - círculo
: , - etc.
- círculo
- Indique uma seta radial apontando para a origem e escreva ao lado “valores aumentam para a origem” (pois
cresce quando diminui).
Esse esboço já é o mapa de contorno: círculos concêntricos com rótulos dos níveis.
Passo 5
Compreendendo o comportamento entre as curvas — interpretação útil para prova.
- A função é radial: depende apenas de
. Logo as curvas de nível são círculos concêntricos. - À medida que nos aproximamos da origem (
), . Isso explica porque as curvas correspondentes a valores grandes de ficam muito próximas da origem. - À medida que vamos para longe da origem (
), . Logo valores pequenos de aparecem em círculos de raio grande. - O espaçamento das curvas não é linear em
: um mesmo incremento em não resulta em incremento constante em . Por exemplo dobrar divide por .
Passo 6
Informação extra útil (gradiente) — ajuda a saber a direção em que
cresce, e confirma que flechas normais às curvas apontam para a origem.
Cálculo do gradiente:
Interpretação:
-
é proporcional a , ou seja, aponta radialmente para a origem; portanto o sentido de crescimento de é em direção ao centro. - O módulo
mostra que a taxa de variação cresce muito quando é pequeno (curvas de nível muito juntas perto da origem).
Passo 7
Resumo prático do que desenhar e do que anotar no mapa final (passo-a-passo rápido para a prova).
- Desenhe círculos centrados na origem com raios desejados (por exemplo
). - Ao lado de cada círculo escreva o valor
correspondente usando . - Marque a origem com um ponto e indique que ali a função não está definida (singularidade).
- Opcional: desenhe pequenas setas perpendiculares às curvas apontando para a origem para mostrar a direção de aumento de
.
Resposta
As curvas de nível são os círculos centrados na origem dados por
para
.\newline
Exemplos: (raio
);
(raio
);
(raio
), etc.
Exemplos: