Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: fazer o mapa de contorno (várias curvas de nível) da função \,f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-1}\,.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A função é \,f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-1}.
  • O domínio é \mathbb{R}^{2} exceto o ponto (0,0), porque em (0,0) temos divisão por zero.
  • O pedido específico: desenhar/mostrar várias curvas de nível (ou seja, as curvas onde f(x,y)=c para diferentes constantes c).

Passo 2

O que é uma curva de nível e como obtê-la para esta função.
Definição rápida e prática: uma curva de nível para um valor fixo \,c\in\mathbb{R}\, é o conjunto de pontos (x,y) tais que \,f(x,y)=c.
Aplicando isso à função dada:
f(x,y)=c \quad\Longrightarrow\quad (x^{2}+y^{2})^{-1}=c.
Invertendo ambos os lados (válido se c\neq0):
x^{2}+y^{2}=\frac{1}{c}.
Conclusão: para cada c\neq0 que torne o lado direito positivo, a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
r=\frac{1}{\sqrt{c}}.
Observação sobre sinal de c: como x^{2}+y^{2}\ge0 e (x^{2}+y^{2})^{-1}>0 sempre que definido, só existem curvas de nível para \,c>0. Não há curvas para c\le0. Além disso, c\to+\infty corresponde a r\to0 (singularidade na origem) e c\to0^{+} corresponde a r\to+\infty.

Passo 3

Escolha prática de alguns valores de nível para desenhar (dica para a prova: escolher c que dão raios inteiros facilita o rascunho).
Se escolhermos c=\dfrac{1}{n^{2}} com n=1,2,3,\dots, então
r=\frac{1}{\sqrt{c}}=n.
Portanto os níveis e raios ficam bem simples. Exemplos concretos:
  • Para c=1 temos x^{2}+y^{2}=1 (círculo de raio 1).
  • Para c=\dfrac{1}{4} temos x^{2}+y^{2}=4 (círculo de raio 2).
  • Para c=\dfrac{1}{9} temos x^{2}+y^{2}=9 (círculo de raio 3).
  • Para c=\dfrac{1}{16} temos x^{2}+y^{2}=16 (círculo de raio 4).
  • Para c=\dfrac{1}{25} temos x^{2}+y^{2}=25 (círculo de raio 5).
Esses níveis dão um conjunto de círculos concêntricos fáceis de desenhar e de rotular com o valor de f correspondente.

Passo 4

Como montar o rascunho do mapa de contorno passo a passo (instruções práticas).
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem.
  2. Trace círculos centrados na origem com raios 1,2,3,4,5 (ou outros raios que preferir). Cada círculo corresponde a um nível.
  3. Ao lado de cada círculo escreva o valor de f constante naquela curva. Usando os exemplos acima, os rótulos seriam:
    • círculo r=1: f=1,
    • círculo r=2: f=\dfrac{1}{4},
    • círculo r=3: f=\dfrac{1}{9},
    • etc.
  4. Indique uma seta radial apontando para a origem e escreva ao lado “valores aumentam para a origem” (pois f cresce quando r diminui).
Esse esboço já é o mapa de contorno: círculos concêntricos com rótulos dos níveis.

Passo 5

Compreendendo o comportamento entre as curvas — interpretação útil para prova.
  • A função é radial: depende apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Logo as curvas de nível são círculos concêntricos.
  • À medida que nos aproximamos da origem ( r\downarrow0), f(r)=1/r^{2}\to+\infty. Isso explica porque as curvas correspondentes a valores grandes de f ficam muito próximas da origem.
  • À medida que vamos para longe da origem ( r\uparrow\infty), f(r)\to0^{+}. Logo valores pequenos de f aparecem em círculos de raio grande.
  • O espaçamento das curvas não é linear em c: um mesmo incremento em c não resulta em incremento constante em r. Por exemplo dobrar c divide r por \sqrt{2}.

Passo 6

Informação extra útil (gradiente) — ajuda a saber a direção em que f cresce, e confirma que flechas normais às curvas apontam para a origem.
Cálculo do gradiente:
\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\left(-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}},-\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right).
Interpretação:
  • \nabla f é proporcional a -(x,y), ou seja, aponta radialmente para a origem; portanto o sentido de crescimento de f é em direção ao centro.
  • O módulo |\nabla f|=\dfrac{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\dfrac{2}{r^{3}} mostra que a taxa de variação cresce muito quando r é pequeno (curvas de nível muito juntas perto da origem).

Passo 7

Resumo prático do que desenhar e do que anotar no mapa final (passo-a-passo rápido para a prova).
  • Desenhe círculos centrados na origem com raios desejados (por exemplo 1,2,3,4,5).
  • Ao lado de cada círculo escreva o valor c correspondente usando c=1/r^{2}.
  • Marque a origem com um ponto e indique que ali a função não está definida (singularidade).
  • Opcional: desenhe pequenas setas perpendiculares às curvas apontando para a origem para mostrar a direção de aumento de f.

Resposta

As curvas de nível são os círculos centrados na origem dados por \;x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{c}\; para \;c>0.\newline
Exemplos: \;c=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1 (raio 1); \;c=\dfrac{1}{4}\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4 (raio 2); \;c=\dfrac{1}{9}\Rightarrow x^{2}+y^{2}=9 (raio 3), etc.

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