Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Então, galera, o que temos aqui é um exercício de cálculo de limites envolvendo duas variáveis,
e
. O objetivo é descobrir o valor que a função
se aproxima quando os pontos
chegam perto de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites em várias direções e possivelmente usar coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Uma maneira comum de fazer isso é escolher caminhos específicos, como linhas retas, e calcular o limite ao longo desses caminhos. Se obtivermos resultados diferentes para caminhos diferentes, isso nos indica que o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar escolhendo o caminho onde
, onde
é uma constante qualquer. Substituindo nessa função:
Como estamos nos aproximando de
,
tende a 0, então
(considerando
positivo perto de 0). Simplificando:
Quando
tende a 0, todo esse termo também tende a 0.
Passo 4
Agora, vamos usar coordenadas polares para verificar se o limite é consistente em todas as direções. Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na função:
Sabemos que
, então simplificando:
À medida que
, o produto
também tende a 0, independente do valor de
.
Resposta
Portanto, o limite existe e é igual a 0.