Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2

Passo 1

Então, galera, o que temos aqui é um exercício de cálculo de limites envolvendo duas variáveis, e . O objetivo é descobrir o valor que a função se aproxima quando os pontos chegam perto de . Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites em várias direções e possivelmente usar coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Uma maneira comum de fazer isso é escolher caminhos específicos, como linhas retas, e calcular o limite ao longo desses caminhos. Se obtivermos resultados diferentes para caminhos diferentes, isso nos indica que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar escolhendo o caminho onde x cdot yraizx^2+y^2 = x cdot (k x)raizx^2 + (k x)^2 = k x^2raizx^2(1 + k^2) = k x^2|x| raiz1 + k^2 , onde k x^2x raiz1 + k^2 = k xraiz1 + k^2 é uma constante qualquer. Substituindo nessa função:
Como estamos nos aproximando de , tende a 0, então (considerando positivo perto de 0). Simplificando:
Quando tende a 0, todo esse termo também tende a 0.

Passo 4

Agora, vamos usar coordenadas polares para verificar se o limite é consistente em todas as direções. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
Substituindo na função:
Sabemos que xyraizx^2+y^2 = (r cos(theta))(r sin(theta))raizr^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = r^2 cos(theta) sin(theta)r raizcos^2(theta) + sin^2(theta) , então simplificando:
r^2 cos(theta) sin(theta)r = r cos(theta) sin(theta)
À medida que , o produto também tende a 0, independente do valor de .

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.

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