Determine o limite, quando existir:
n) \lim_{x \to 2} 3 = 3

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, quando existir, do seguinte:
\lim_{x \to 2} 3.
Informações dadas:
  • A função considerada é a função constante cujo valor é 3 para todo x.
  • O ponto de aproximação é x=2.
    A pergunta é: qual é o valor do limite quando x tende a 2?

Passo 2

Intuição simples (jeito rápido para prova): se a função vale sempre 3, então ao aproximar x de qualquer número (por exemplo 2) o valor da função permanece 3. Logo esperamos que
\lim_{x\to2} 3 = 3.
Mas isso é só a intuição — agora vamos formalizar de um jeito que segura na prova.

Passo 3

Lembrete didático do que significa limite (versão epsilon–delta, explicada de maneira simples).
  • Dizer que \lim_{x\to2} f(x)=L significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.
    Vou aplicar essa definição ao caso f(x)=3 e L=3.

Passo 4

Aplicando a definição ao nosso caso:
  • Tome um \varepsilon>0 arbitrário.
  • Para qualquer x (com 0<|x-2|<\delta), temos
|f(x)-L| = |3-3| = 0.
  • E 0<\varepsilon para qualquer \varepsilon>0, então a desigualdade |f(x)-L|<\varepsilon é verdadeira automaticamente, independentemente do valor de \delta.
    Portanto podemos escolher qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1 ou \delta=\varepsilon); a condição da definição será satisfeita.

Passo 5

Conseqüência lógica: como para todo \varepsilon>0 existe um \delta>0 (na verdade qualquer \delta>0 serve) que garante |f(x)-L|<\varepsilon sempre que 0<|x-2|<\delta, pela definição temos
\lim_{x\to2} 3 = 3.

Passo 6

Observação prática para a prova (dica amiga): sempre que a função for constante f(x)=c, o limite em qualquer ponto a é simplesmente c. Você pode justificar isso informalmente (substituição direta) ou por epsilon–delta curto como fiz acima. Isso evita perda de tempo com contas desnecessárias.

Resposta

3

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