Determine o limite, quando existir:
c) \lim_{x \to 4} x = 4

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite (quando existir) do seguinte caso:
  • Questão (c): calcular \lim_{x \to 4} x.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=x.
  • O ponto de aproximação é x=4.
  • A pergunta é: existe um número L tal que \lim_{x\to4} x = L? Se existir, qual é esse L?

Passo 2

Vamos lembrar a definição formal (epsilon–delta) de limite, que é a ferramenta que usamos em provas rigorosas. A definição diz:
\text{Dado }f,\\ a\in\mathbb{R},\\ \text{dizemos que }\lim_{x\to a} f(x)=L\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\\ \exists\delta>0\text{ tal que, sempre que }0<|x-a|<\delta,\\ \text{temos }|f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando em palavras simples:
  • \varepsilon é a tolerância no eixo y: quão perto queremos que f(x) esteja de L.
  • \delta é a tolerância no eixo x: quão perto devemos tomar x de a (aqui a=4) para garantir que f(x) esteja dentro de \varepsilon de L.
  • Para mostrar que o limite vale, precisamos, dado qualquer \varepsilon>0, escolher um \delta>0 que funcione.

Passo 3

Aplique a definição ao nosso caso. Aqui f(x)=x, a=4. Suspeitamos que L=4 (intuitivamente, a função identidade entrega o próprio x). Vamos provar que \lim_{x\to4} x = 4 usando epsilon–delta.
Calcule a diferença que aparece na definição:
|f(x)-L| = |x-4|.
Queremos garantir |x-4|<\varepsilon sempre que 0<|x-4|<\delta. Uma escolha natural e simples é tomar
\delta = \varepsilon.
Agora o argumento formal: seja \varepsilon>0 arbitrário. Escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|x-4|<\delta então, por substituição da escolha de \delta,
|f(x)-4| = |x-4| < \delta = \varepsilon.
Isso satisfaz a condição da definição para todo \varepsilon>0. Portanto o limite existe e é igual a 4.

Passo 4

Intuição e interpretação prática (como usar na prova sem complicação):
  • A função f(x)=x é contínua em todo ponto real; para funções contínuas vale \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Aqui f(4)=4, então o limite é 4.
  • Em provas rápidas, se a função é simples (identidade, polinômio, soma/produto de funções contínuas), basta dizer que é contínua e plugar x=4. Se a prova pede rigor, faça o pequeno epsilon–delta acima (que é curtinho).

Passo 5

Generalização e dica para a prova:
  • Mais geral, para qualquer ponto a\in\mathbb{R} vale \lim_{x\to a} x = a. O mesmo argumento epsilon–delta funciona trocando 4 por a.
  • Dica: quando ver \lim_{x\to a} x não complique — é sempre a. Se precisar ser formal, use \delta=\varepsilon.

Resposta

4

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