Determine o limite, quando existir:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite (quando existir) do seguinte caso:
- Questão (c): calcular
.
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de aproximação é
. - A pergunta é: existe um número
tal que ? Se existir, qual é esse ?
Passo 2
Vamos lembrar a definição formal (epsilon–delta) de limite, que é a ferramenta que usamos em provas rigorosas. A definição diz:
Explicando em palavras simples:
-
é a tolerância no eixo : quão perto queremos que esteja de . -
é a tolerância no eixo : quão perto devemos tomar de (aqui ) para garantir que esteja dentro de de . - Para mostrar que o limite vale, precisamos, dado qualquer
, escolher um que funcione.
Passo 3
Aplique a definição ao nosso caso. Aqui
,
. Suspeitamos que
(intuitivamente, a função identidade entrega o próprio
). Vamos provar que
usando epsilon–delta.
Calcule a diferença que aparece na definição:
Queremos garantir
sempre que
. Uma escolha natural e simples é tomar
Agora o argumento formal: seja
arbitrário. Escolha
. Se
então, por substituição da escolha de
,
Isso satisfaz a condição da definição para todo
. Portanto o limite existe e é igual a
.
Passo 4
Intuição e interpretação prática (como usar na prova sem complicação):
- A função
é contínua em todo ponto real; para funções contínuas vale . Aqui , então o limite é . - Em provas rápidas, se a função é simples (identidade, polinômio, soma/produto de funções contínuas), basta dizer que é contínua e plugar
. Se a prova pede rigor, faça o pequeno epsilon–delta acima (que é curtinho).
Passo 5
Generalização e dica para a prova:
- Mais geral, para qualquer ponto
vale . O mesmo argumento epsilon–delta funciona trocando por . - Dica: quando ver
não complique — é sempre . Se precisar ser formal, use .