Exercícios 11-15: Para a
dada, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(não existe).
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: expressar o valor de
como
,
ou
(não existe).
Informações fornecidas: apenas a expressão simbólica — não foi dada a fórmula de
, nem gráfico, nem tabela de valores, nem comportamento ao redor de
.
Informações fornecidas: apenas a expressão simbólica
Passo 2
Com os dados atuais não é possível avaliar a expressão. Para decidir se
é
,
ou
é necessário conhecer o comportamento de
quando
se aproxima de
. Isto pode vir de:
- uma fórmula explícita para
; - ou um gráfico que mostre o comportamento perto de
; - ou uma tabela de valores próximos a
.
Sem alguma dessas informações, a determinação é impossível.
Passo 3
Vou ensinar passo a passo como proceder quando, na prova, a função ou gráfico estiverem disponíveis. Primeiro passo prático: sempre analisar os limites laterais.
- Calcule
(aproximação pela esquerda) e (pela direita). - Regra de decisão:
- Se
, então . - Se
, então . - Se os dois limites laterais existem mas são diferentes (por exemplo
e , ou um finito e outro infinito, ou dois finitos diferentes), então .
- Se
Passo 4
Métodos práticos para calcular os limites laterais (use conforme a forma de
):
- Para funções racionais
com : fatorar e simplificar; se sobra uma potência par no denominador perto de isso tende a ; se potência ímpar, o sinal muda conforme o lado. Faça um quadro de sinal do numerador e denominador perto de . - Para formas do tipo
ou : tente fatorar, simplificar ou aplicar a Regra de L’Hôpital quando apropriado (ambas as condições de forma indeterminada e derivadas existentes). - Para comparação de crescimento (quando
ou ): compare graus de polinômios ou crescimento exponencial/polynomial para decidir ou . - Para funções trigonométricas multiplicadas por termos que tendem a infinito, use análise de sinais e teoremas como o do aperto (squeeze) quando houver fatores limitados.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar (cada exemplo mostra como decidir na prova):
- Exemplo A:
. Aqui e . Conclusão: . - Exemplo B:
. Aqui e . Conclusão: . - Exemplo C:
(após simplificar). Mesmo resultado que o Exemplo A: . - Exemplo D: se
finito então (isso é só para lembrar que a possibilidade de limite finito existe).
Passo 6
Checklist rápido para a prova (em ordem):
- Verifique existência de
em pontos próximos a . - Calcule
e separadamente. - Use fatoração/expansão/quadros de sinal para racionais; L’Hôpital para
ou ; comparação assintótica para extremos. - Aplique a regra de decisão do Passo 3 para concluir
, ou .
Passo 7
Resumo motivador: mesmo que agora pareça confuso, na prova fique calmo — sempre que possível reduza o problema aos dois limites laterais e à análise de sinais/ordens de grandeza. Com prática isso vira automático. Vamos com tudo!
Resposta
Não é possível determinar:
não foi fornecida.