Exercícios 11-15: Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como \infty,-\infty ou \nexists (não existe).
a) \lim_{x \to a} f(x)

Passo 1

O enunciado pede: expressar o valor de \lim_{x \to a} f(x) como \infty, -\infty ou \nexists (não existe).
Informações fornecidas: apenas a expressão simbólica \lim_{x \to a} f(x) — não foi dada a fórmula de f(x), nem gráfico, nem tabela de valores, nem comportamento ao redor de a.

Passo 2

Com os dados atuais não é possível avaliar a expressão. Para decidir se \lim_{x\to a} f(x) é \infty, -\infty ou \nexists é necessário conhecer o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a. Isto pode vir de:
  • uma fórmula explícita para f(x);
  • ou um gráfico que mostre o comportamento perto de a;
  • ou uma tabela de valores próximos a a.
    Sem alguma dessas informações, a determinação é impossível.

Passo 3

Vou ensinar passo a passo como proceder quando, na prova, a função ou gráfico estiverem disponíveis. Primeiro passo prático: sempre analisar os limites laterais.
  • Calcule \lim_{x\to a^-} f(x) (aproximação pela esquerda) e \lim_{x\to a^+} f(x) (pela direita).
  • Regra de decisão:
    • Se \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty, então \lim_{x\to a} f(x)=\infty.
    • Se \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=-\infty, então \lim_{x\to a} f(x)=-\infty.
    • Se os dois limites laterais existem mas são diferentes (por exemplo +\infty e -\infty, ou um finito e outro infinito, ou dois finitos diferentes), então \lim_{x\to a} f(x)=\nexists.

Passo 4

Métodos práticos para calcular os limites laterais (use conforme a forma de f):
  • Para funções racionais \dfrac{p(x)}{q(x)} com q(a)=0: fatorar e simplificar; se sobra uma potência par no denominador perto de a isso tende a +\infty; se potência ímpar, o sinal muda conforme o lado. Faça um quadro de sinal do numerador e denominador perto de a.
  • Para formas do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}: tente fatorar, simplificar ou aplicar a Regra de L’Hôpital quando apropriado (ambas as condições de forma indeterminada e derivadas existentes).
  • Para comparação de crescimento (quando x\to\infty ou x\to -\infty): compare graus de polinômios ou crescimento exponencial/polynomial para decidir \infty ou -\infty.
  • Para funções trigonométricas multiplicadas por termos que tendem a infinito, use análise de sinais e teoremas como o do aperto (squeeze) quando houver fatores limitados.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar (cada exemplo mostra como decidir na prova):
  • Exemplo A: f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^2}. Aqui \lim_{x\to a^-} f(x)=+\infty e \lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty. Conclusão: \lim_{x\to a} f(x)=\infty.
  • Exemplo B: f(x)=\dfrac{1}{x-a}. Aqui \lim_{x\to a^-} f(x)=-\infty e \lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty. Conclusão: \lim_{x\to a} f(x)=\nexists.
  • Exemplo C: f(x)=\dfrac{x-a}{(x-a)^3}=\dfrac{1}{(x-a)^2} (após simplificar). Mesmo resultado que o Exemplo A: \infty.
  • Exemplo D: se \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L finito então \lim_{x\to a} f(x)=L (isso é só para lembrar que a possibilidade de limite finito existe).

Passo 6

Checklist rápido para a prova (em ordem):
  1. Verifique existência de f em pontos próximos a a.
  2. Calcule \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x) separadamente.
  3. Use fatoração/expansão/quadros de sinal para racionais; L’Hôpital para 0/0 ou \infty/\infty; comparação assintótica para extremos.
  4. Aplique a regra de decisão do Passo 3 para concluir \infty, -\infty ou \nexists.

Passo 7

Resumo motivador: mesmo que agora pareça confuso, na prova fique calmo — sempre que possível reduza o problema aos dois limites laterais e à análise de sinais/ordens de grandeza. Com prática isso vira automático. Vamos com tudo!

Resposta

Não é possível determinar: f(x) não foi fornecida.

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