determine o limite.
\lim _{t \rightarrow 1}\left(t \mathbf{i}-3 \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}
e pede o limite \lim_{t\to1}\mathbf{r}(t). O conteúdo aqui é limite de função vetorial, que se faz componente a componente.

Passo 2

Separamos as três componentes de \mathbf{r}(t):
  1. Componente em \mathbf{i}: r_{1}(t)=t.
  2. Componente em \mathbf{j}: r_{2}(t)=-3.
  3. Componente em \mathbf{k}: r_{3}(t)=t^{2}.
    Como cada uma é uma função real, aplicamos o limite em cada uma:
\lim_{t\to1}r_{1}(t)=\lim_{t\to1}t=1,
\lim_{t\to1}r_{2}(t)=\lim_{t\to1}(-3)=-3,
\lim_{t\to1}r_{3}(t)=\lim_{t\to1}t^{2}=1^{2}=1.

Passo 3

Agora reunimos as componentes limites para formar o vetor resultado:
\lim_{t\to1}\mathbf{r}(t) =1\,\mathbf{i}+(-3)\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k} =\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}+\mathbf{k}

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