Seja \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+\mathbf{k}. Determine
a) \lim _{t \rightarrow 0}\left[\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}^{\'}(t)\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\operatorname{sen} t\,\mathbf{j}+\mathbf{k}
e pede o limite
\lim_{t\to0}\bigl[\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}'(t)\bigr].
Aqui vamos usar derivação de funções vetoriais e, em seguida, a propriedade de limite linear.

Passo 2

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}(\cos t)= -\operatorname{sen} t, \qquad \frac{d}{dt}(\operatorname{sen} t)= \cos t, \qquad \frac{d}{dt}(1)=0.
Logo,
\mathbf{r}'(t)= -\operatorname{sen} t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.

Passo 3

Formar a diferença \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}'(t). Subtraindo as componentes correspondentes, obtemos
\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}'(t) = \bigl(\cos t -(-\operatorname{sen} t)\bigr)\mathbf{i} + \bigl(\operatorname{sen} t-\cos t\bigr)\mathbf{j} + (1-0)\,\mathbf{k},
ou seja,
\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}'(t) = (\cos t+\operatorname{sen} t)\,\mathbf{i} + (\operatorname{sen} t-\cos t)\,\mathbf{j} + \mathbf{k}.

Passo 4

Avaliar o limite quando t\to0. Usando \cos0=1 e \sen0=0, temos
\lim_{t\to0}(\cos t+\operatorname{sen} t)=1+0=1, \quad \lim_{t\to0}(\operatorname{sen} t-\cos t)=0-1=-1, \quad \lim_{t\to0}1=1.

Resposta

\lim_{t\to0}\bigl[\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}'(t)\bigr] = \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}.

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