Determine:
O limite \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{x-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}}{x-\operatorname{sen}x}.
Informações dadas/evidentes do enunciado:
  • O numerador é x^{3}.
  • O denominador é x-\operatorname{sen}x.
  • Quando x\to 0, temos x^{3}\to 0 e x-\operatorname{sen}x\to 0, portanto a expressão está na forma indeterminada 0/0.
    Não vou resolver ainda — só identifiquei o que foi pedido e os dados principais.

Passo 2

Escolha do método: vou usar a expansão em série (Maclaurin/Taylor) de \operatorname{sen}x porque é um caminho curto e direto para esse tipo de limite que envolve funções trigonométricas próximas de zero. Vou explicar a série com carinho e depois fazer um método alternativo (Regra de l’Hôpital) como checagem, para você ter duas maneiras de visualizar o mesmo resultado.

Passo 3

Aula rápida sobre a série de \operatorname{sen}x:
  • A série de Maclaurin (expansão em torno de 0) para \operatorname{sen}x é
\operatorname{sen}x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots.
  • Aqui 3! = 6 e 5! = 120. Essa expansão significa que, para x pequeno,
\operatorname{sen}x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}),
ou usando a notação pequena o,
\operatorname{sen}x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}).
Explicação do o(x^{3}): significa que os termos remanescentes divididos por x^{3} tendem a 0 quando x\to 0. É só uma forma compacta de dizer “resto de ordem maior que x^{3}”.

Passo 4

Aplicando a expansão ao denominador:
x - \operatorname{sen}x = x -\left(x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})\right).
Fazendo as contas:
x - \operatorname{sen}x = \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}).
Ou seja, para x pequeno o denominador comporta-se como \frac{x^{3}}{6} mais termos de ordem superior.

Passo 5

Agora simplificamos a razão usando essa aproximação:
\frac{x^{3}}{x-\operatorname{sen}x} = \frac{x^{3}}{\frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})}.
Dividindo numerador e denominador por x^{3} (válido para x\neq 0):
\frac{x^{3}}{x-\operatorname{sen}x} = \frac{1}{\frac{1}{6} + \frac{o(x^{3})}{x^{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{6} + o(1)}.
Quando x\to 0, temos o(1)\to 0, então a expressão tende a
\frac{1}{\tfrac{1}{6}} = 6.

Passo 6

(Método alternativo — checagem com l’Hôpital, passo a passo)
Como a forma é 0/0, podemos aplicar a Regra de l’Hôpital repetidamente:
  • Primeiro deriva-se numerador e denominador: \text{num}' = 3x^{2},\qquad \text{den}' = 1 - \cos x.Ainda dá 0/0 quando x\to 0.
  • Segunda derivada: \text{num}'' = 6x,\qquad \text{den}'' = \sin x.Ainda 0/0 em x\to 0.
  • Terceira derivada: \text{num}''' = 6,\qquad \text{den}''' = \cos x.Agora, aplicando l’Hôpital três vezes, o limite é \lim_{x\to 0}\frac{6}{\cos x} = \frac{6}{\cos 0} = \frac{6}{1} = 6.
Isso confirma o resultado da expansão em série.

Passo 7

Resumo e incentivo: vimos duas maneiras consistentes (expansão de Taylor e l’Hôpital repetido) e ambas levam ao mesmo valor. Você conseguiu entender a ideia: perto de zero, \operatorname{sen}x difere de x por um termo proporcional a x^{3}, e esse termo é o que domina o comportamento do quociente — por isso aparece o 6.

Resposta

6

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