Determine:
O limite
O limite
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas/evidentes do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Quando
, temos e , portanto a expressão está na forma indeterminada .
Não vou resolver ainda — só identifiquei o que foi pedido e os dados principais.
Passo 2
Escolha do método: vou usar a expansão em série (Maclaurin/Taylor) de
porque é um caminho curto e direto para esse tipo de limite que envolve funções trigonométricas próximas de zero. Vou explicar a série com carinho e depois fazer um método alternativo (Regra de l’Hôpital) como checagem, para você ter duas maneiras de visualizar o mesmo resultado.
Passo 3
Aula rápida sobre a série de
:
- A série de Maclaurin (expansão em torno de
) para é
- Aqui
e . Essa expansão significa que, para pequeno,
ou usando a notação pequena
,
Explicação do
: significa que os termos remanescentes divididos por
tendem a
quando
. É só uma forma compacta de dizer “resto de ordem maior que
”.
Passo 4
Aplicando a expansão ao denominador:
Fazendo as contas:
Ou seja, para
pequeno o denominador comporta-se como
mais termos de ordem superior.
Passo 5
Agora simplificamos a razão usando essa aproximação:
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
):
Quando
, temos
, então a expressão tende a
Passo 6
(Método alternativo — checagem com l’Hôpital, passo a passo)
Como a forma é , podemos aplicar a Regra de l’Hôpital repetidamente:
Como a forma é
- Primeiro deriva-se numerador e denominador:
Ainda dá quando . - Segunda derivada:
Ainda em . - Terceira derivada:
Agora, aplicando l’Hôpital três vezes, o limite é
Isso confirma o resultado da expansão em série.
Passo 7
Resumo e incentivo: vimos duas maneiras consistentes (expansão de Taylor e l’Hôpital repetido) e ambas levam ao mesmo valor. Você conseguiu entender a ideia: perto de zero,
difere de
por um termo proporcional a
, e esse termo é o que domina o comportamento do quociente — por isso aparece o
.