( 1,5 \mathrm{pt} ) Mostre que a equação x^{3}+x-1=0 tem solução na reta, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, e que essa solução é única utilizando o Teorema do Valor Médio.

Passo 1

O enunciado dá a equação x^{3}+x-1=0.
Perguntas pedidas: (1) mostre que essa equação tem ao menos uma solução real (isto é, exista x\in\mathbb{R} tal que x^{3}+x-1=0) usando o Teorema do Valor Intermediário; (2) mostre que essa solução é única usando o Teorema do Valor Médio.
Informações relevantes fornecidas implicitamente: a função polinomial f(x)=x^{3}+x-1 está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Defino a função que representa o lado esquerdo da equação:
f(x)=x^{3}+x-1.
Vou lembrar dois fatos básicos sobre polinômios (isso é parte da “aula rápida” que pediu): qualquer polinômio é uma função contínua e também é diferenciável em todo \mathbb{R}. Aqui, isso significa que f é contínua e derivável em qualquer intervalo real — uma hipótese necessária para aplicar o Teorema do Valor Intermediário (que exige continuidade) e o Teorema do Valor Médio (que exige continuidade no intervalo fechado e diferenciabilidade no aberto).

Passo 3

Vou aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Primeiro lembro o enunciado do TVI, explicando as variáveis: se uma função g é contínua num intervalo fechado [a,b] e L é um número entre g(a) e g(b), então existe \xi\in[a,b] tal que g(\xi)=L. No nosso caso queremos um valor L=0. Portanto, para garantir a existência de uma raiz, basta encontrar a e b com f(a) e f(b) de sinais opostos (ou seja, f(a)<0<f(b) ou vice-versa).

Passo 4

Calculo f em dois pontos fáceis:
f(0)=0^{3}+0-1=-1,
f(1)=1^{3}+1-1=1.
Aqui eu usei substituição direta: para x=0 entra 0 na expressão e sobra -1; para x=1 fica 1+1-1=1.

Passo 5

Como f(0)=-1<0 e f(1)=1>0, há variação de sinal entre 0 e 1. A função f é contínua em [0,1] (polinômio), então pelo Teorema do Valor Intermediário existe \xi\in(0,1) tal que
f(\xi)=0.
Isto prova a existência de pelo menos uma solução real e ainda localiza essa solução no intervalo aberto (0,1).

Passo 6

Agora provarei que essa solução é única usando o Teorema do Valor Médio (TVM). Primeiro lembro o enunciado do TVM: se g é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
g'\text{(c)}=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}.
A ideia padrão para provar unicidade de raiz é: assumir que existam duas raízes distintas e aplicar o TVM para obter uma contradição.

Passo 7

Suponha, por contradição, que existam duas soluções distintas r_1 e r_2 com r_1<r_2 tais que
f(r_1)=0\quad\text{e}\quad f(r_2)=0.
Como f é contínua em [r_1,r_2] e derivável em (r_1,r_2), o Teorema do Valor Médio garante a existência de c\in(r_1,r_2) com
f'\text{(c)}=\frac{f(r_2)-f(r_1)}{r_2-r_1}.
Mas f(r_2)-f(r_1)=0-0=0, logo
f'\text{(c)}=0.

Passo 8

Calculo a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x-1\bigr)=3x^{2}+1.
Aqui mostro o que cada termo representa: a derivada de x^{3} é 3x^{2} (regra do poder: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}) e a derivada de x é 1; a constante -1 tem derivada 0.

Passo 9

Analiso f'(x)=3x^{2}+1. Para qualquer x\in\mathbb{R} temos 3x^{2}\ge 0, portanto
f'(x)=3x^{2}+1\ge 1>0.
Ou seja, a derivada é sempre estritamente positiva em todo \mathbb{R}. Em particular, não existe c tal que f'\text{(c)}=0. Isso contradiz a conclusão do passo anterior, obtida assumindo duas raízes distintas.

Passo 10

Da contradição obtemos que não podem existir duas raízes distintas. Logo a raiz que encontramos no passo 5 é a única raiz real de f.

Resposta

Existe uma solução \xi\in(0,1) tal que \xi^{3}+\xi-1=0.
Essa solução é única (não existe outra solução em \mathbb{R}).

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