(
) Mostre que a equação
tem solução na reta, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, e que essa solução é única utilizando o Teorema do Valor Médio.
Passo 1
O enunciado dá a equação
.
Perguntas pedidas: (1) mostre que essa equação tem ao menos uma solução real (isto é, exista tal que
) usando o Teorema do Valor Intermediário; (2) mostre que essa solução é única usando o Teorema do Valor Médio.
Informações relevantes fornecidas implicitamente: a função polinomial está definida para todo
.
Perguntas pedidas: (1) mostre que essa equação tem ao menos uma solução real (isto é, exista
Informações relevantes fornecidas implicitamente: a função polinomial
Passo 2
Defino a função que representa o lado esquerdo da equação:
Vou lembrar dois fatos básicos sobre polinômios (isso é parte da “aula rápida” que pediu): qualquer polinômio é uma função contínua e também é diferenciável em todo
. Aqui, isso significa que
é contínua e derivável em qualquer intervalo real — uma hipótese necessária para aplicar o Teorema do Valor Intermediário (que exige continuidade) e o Teorema do Valor Médio (que exige continuidade no intervalo fechado e diferenciabilidade no aberto).
Passo 3
Vou aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Primeiro lembro o enunciado do TVI, explicando as variáveis: se uma função
é contínua num intervalo fechado
e
é um número entre
e
, então existe
tal que
. No nosso caso queremos um valor
. Portanto, para garantir a existência de uma raiz, basta encontrar
e
com
e
de sinais opostos (ou seja,
ou vice-versa).
Passo 4
Calculo
em dois pontos fáceis:
Aqui eu usei substituição direta: para
entra
na expressão e sobra
; para
fica
.
Passo 5
Como
e
, há variação de sinal entre
e
. A função
é contínua em
(polinômio), então pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Isto prova a existência de pelo menos uma solução real e ainda localiza essa solução no intervalo aberto
.
Passo 6
Agora provarei que essa solução é única usando o Teorema do Valor Médio (TVM). Primeiro lembro o enunciado do TVM: se
é contínua em
e derivável em
, então existe
tal que
A ideia padrão para provar unicidade de raiz é: assumir que existam duas raízes distintas e aplicar o TVM para obter uma contradição.
Passo 7
Suponha, por contradição, que existam duas soluções distintas
e
com
tais que
Como
é contínua em
e derivável em
, o Teorema do Valor Médio garante a existência de
com
Mas
, logo
Passo 8
Calculo a derivada de
:
Aqui mostro o que cada termo representa: a derivada de
é
(regra do poder:
) e a derivada de
é
; a constante
tem derivada
.
Passo 9
Analiso
. Para qualquer
temos
, portanto
Ou seja, a derivada é sempre estritamente positiva em todo
. Em particular, não existe
tal que
. Isso contradiz a conclusão do passo anterior, obtida assumindo duas raízes distintas.
Passo 10
Da contradição obtemos que não podem existir duas raízes distintas. Logo a raiz que encontramos no passo 5 é a única raiz real de
.
Resposta
Existe uma solução
tal que
.
Essa solução é única (não existe outra solução em ).
Essa solução é única (não existe outra solução em