Determine:
A derivada de f(x)=\operatorname{sen} \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sin\!\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}}
e pede a derivada f'(x). Informação relevante: a expressão interna é \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+4}, que está dentro de uma raiz quadrada, que por sua vez está dentro da função seno. Não há outras perguntas.

Passo 2

Vamos decompor a função em composições para aplicar a regra da cadeia de forma organizada. Definimos:
g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}, \qquad h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}, \qquad s(t)=\sin t.
Assim
f(x)=s\big(h(g(x))\big).
A regra da cadeia para três funções diz que
f'(x)=s'\big(h(g(x))\big)\cdot h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui s'(t)=\cos t porque a derivada de \sin é \cos. Vou aplicar isso em seguida.

Passo 3

Calcule h'(u). Para h(u)=u^{1/2} usamos a regra do poder:
h'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Então
h'\big(g(x)\big)=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}.

Passo 4

Calcule g'(x). Usamos a regra do quociente: para g(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com p(x)=x^{2}+1 e q(x)=x^{2}+4,
g'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
Aqui p'(x)=2x e q'(x)=2x, então
g'(x)=\frac{2x(x^{2}+4)-2x(x^{2}+1)}{(x^{2}+4)^{2}}.
Fatorando 2x no numerador:
g'(x)=\frac{2x\big((x^{2}+4)-(x^{2}+1)\big)}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{2x\cdot 3}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{6x}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 5

Agora juntamos tudo usando a fórmula da cadeia do Passo 2. Substituindo s'(t)=\cos t, h'(g(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}} e g'(x)=\dfrac{6x}{(x^{2}+4)^{2}}, obtemos
f'(x)=\cos\!\big(\sqrt{g(x)}\big)\cdot \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot \frac{6x}{(x^{2}+4)^{2}}.
Simplificando 6x/2=3x,
f'(x)=\frac{3x\cos\!\big(\sqrt{g(x)}\big)}{(x^{2}+4)^{2}\sqrt{g(x)}}.

Passo 6

Expressamos \sqrt{g(x)} explicitamente e simplificamos o denominador. Como
\sqrt{g(x)}=\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+4}},
temos
(x^{2}+4)^{2}\sqrt{g(x)}=(x^{2}+4)^{2}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+4}} =(x^{2}+4)^{3/2}\,\sqrt{x^{2}+1}.
Portanto a expressão de f'(x) fica
f'(x)=\frac{3x\cos\!\left(\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+4}}\right)}{(x^{2}+4)^{3/2}\sqrt{x^{2}+1}}.
Observe que o denominador nunca é zero porque x^{2}+4>0 e x^{2}+1>0, então a derivada está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x\cos\!\left(\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+4}}\right)}{(x^{2}+4)^{3/2}\sqrt{x^{2}+1}}

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