Determine:
A derivada de f(x)=\operatorname{sen} \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}}
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\sin\!\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}}
e pede a derivada f'(x). Informação relevante: a expressão interna é \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+4}, que está dentro de uma raiz quadrada, que por sua vez está dentro da função seno. Não há outras perguntas.
Passo 2
Vamos decompor a função em composições para aplicar a regra da cadeia de forma organizada. Definimos:
g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}, \qquad h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}, \qquad s(t)=\sin t.
Agora juntamos tudo usando a fórmula da cadeia do Passo 2. Substituindo s'(t)=\cos t, h'(g(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}} e g'(x)=\dfrac{6x}{(x^{2}+4)^{2}}, obtemos