Determine o limite:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}
(a) Simplifique o numerador e calcule o limite.
(b) Interprete o resultado geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a expressão
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}.
As perguntas são:
(a) Simplificar o numerador e calcular o limite.
(b) Interpretar geometricamente o resultado.
As informações dadas são apenas a expressão do limite acima e o ponto para o qual x tende, que é x\to 1. Não começamos a resolver ainda; apenas identificamos o que é pedido.

Passo 2

Vamos ver o que acontece se eu simplesmente tento substituir x=1 na expressão. Calculo o numerador e o denominador separadamente:
\text{numerador: }1^{3}-1=1-1=0,
\text{denominador: }1-1=0.
Logo temos a forma 0/0, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma ferramenta clássica para esse tipo de indeterminação é fatorar o numerador. Há uma identidade algébrica útil, a diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Vou mostrar rapidamente por que isso é verdade: multiplica-se o segundo fator pelo primeiro termo a, depois pelo -b,
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a\cdot a^{2}+a\cdot ab+a\cdot b^{2}-b\cdot a^{2}-b\cdot ab-b\cdot b^{2},
= a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}.
As parcelas mistas cancelam, sobrando a^{3}-b^{3}.
Agora aplico essa identidade com a=x e b=1. Assim
x^{3}-1^{3}=(x-1)\bigl(x^{2}+x\cdot 1+1^{2}\bigr)=(x-1)(x^{2}+x+1).
Portanto o numerador fatorou-se como mostrado.

Passo 4

Substituo a fatoração na expressão do limite:
\frac{x^{3}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}.
Como estamos estudando o limite quando x se aproxima de 1 (e não o valor exatamente em x=1), para x\neq 1 podemos cancelar o fator comum x-1, obtendo a forma simplificada
\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1\qquad(\text{para }x\neq 1).
Essa simplificação remove a indeterminação.

Passo 5

Agora calculamos o limite da função simplificada. A função x^{2}+x+1 é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em todo o domínio dos reais. Para funções contínuas, o limite quando x tende a a é simplesmente o valor da função em a. Logo
\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}+x+1\bigr)=1^{2}+1+1=3.

Passo 6

Agora a interpretação geométrica. Note que, para qualquer função f, a expressão
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
é a inclinação (coeficiente angular) da reta secante que passa pelos pontos (a,f(a)) e (x,f(x)). No nosso caso, tome f(x)=x^{3} e a=1. Então
\frac{x^{3}-1}{x-1}
é exatamente a inclinação da secante à curva y=x^{3} que une (1,1) a (x,x^{3}). O limite quando x\to 1 representa o limite das inclinações das secantes quando o segundo ponto se aproxima do primeiro; geometricamente isso é a inclinação da reta tangente à curva no ponto (1,1).

Passo 7

Podemos também reconhecer que esse limite é a derivada de f(x)=x^{3} em x=1:
f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=3.
Se alguém já conhece a regra de potência, d(x^{3})/dx=3x^{2}, então f'(1)=3\cdot 1^{2}=3, consistindo com o que encontramos pela fatoração. A reta tangente no ponto (1,1) tem, portanto, inclinação 3 e equação (forma ponto-declive)
y-1=3(x-1),
ou seja
y=3x-2.

Passo 8

Para fixar a intuição, veja valores aproximados de secantes para x perto de 1:
x=1{,}1:\quad\frac{1{,}1^{3}-1}{1{,}1-1}=\frac{1{,}331-1}{0{,}1}=\frac{0{,}331}{0{,}1}=3{,}31,
x=0{,}9:\quad\frac{0{,}9^{3}-1}{0{,}9-1}=\frac{0{,}729-1}{-0{,}1}=\frac{-0{,}271}{-0{,}1}=2{,}71.
Esses valores estão perto de 3 e vão se aproximando de 3 à medida que x se aproxima de 1, confirmando geometricamente que a inclinação da tangente é 3.

Resposta

(a) x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1) e \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=3
(b) É a inclinação da reta tangente à curva y=x^{3} no ponto (1,1); esse valor é 3 (equação da tangente: y=3x-2).

Exercícios relacionados