Determine o limite:
(a) Simplifique o numerador e calcule o limite.
(b) Interprete o resultado geometricamente.
(b) Interprete o resultado geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a expressão
As perguntas são:
(a) Simplificar o numerador e calcular o limite.
(b) Interpretar geometricamente o resultado.
(a) Simplificar o numerador e calcular o limite.
(b) Interpretar geometricamente o resultado.
As informações dadas são apenas a expressão do limite acima e o ponto para o qual
tende, que é
. Não começamos a resolver ainda; apenas identificamos o que é pedido.
Passo 2
Vamos ver o que acontece se eu simplesmente tento substituir
na expressão. Calculo o numerador e o denominador separadamente:
Logo temos a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma ferramenta clássica para esse tipo de indeterminação é fatorar o numerador. Há uma identidade algébrica útil, a diferença de cubos:
Vou mostrar rapidamente por que isso é verdade: multiplica-se o segundo fator pelo primeiro termo
, depois pelo
,
As parcelas mistas cancelam, sobrando
.
Agora aplico essa identidade com
e
. Assim
Portanto o numerador fatorou-se como mostrado.
Passo 4
Substituo a fatoração na expressão do limite:
Como estamos estudando o limite quando
se aproxima de
(e não o valor exatamente em
), para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a forma simplificada
Essa simplificação remove a indeterminação.
Passo 5
Agora calculamos o limite da função simplificada. A função
é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em todo o domínio dos reais. Para funções contínuas, o limite quando
tende a
é simplesmente o valor da função em
. Logo
Passo 6
Agora a interpretação geométrica. Note que, para qualquer função
, a expressão
é a inclinação (coeficiente angular) da reta secante que passa pelos pontos
e
. No nosso caso, tome
e
. Então
é exatamente a inclinação da secante à curva
que une
a
. O limite quando
representa o limite das inclinações das secantes quando o segundo ponto se aproxima do primeiro; geometricamente isso é a inclinação da reta tangente à curva no ponto
.
Passo 7
Podemos também reconhecer que esse limite é a derivada de
em
:
Se alguém já conhece a regra de potência,
, então
, consistindo com o que encontramos pela fatoração. A reta tangente no ponto
tem, portanto, inclinação
e equação (forma ponto-declive)
ou seja
Passo 8
Para fixar a intuição, veja valores aproximados de secantes para
perto de
:
Esses valores estão perto de
e vão se aproximando de
à medida que
se aproxima de
, confirmando geometricamente que a inclinação da tangente é
.
Resposta
(a)
e
(b) É a inclinação da reta tangente à curva no ponto
; esse valor é
(equação da tangente:
).
(b) É a inclinação da reta tangente à curva