Considere a função
h(x)= \begin{cases}x^{2}-4, & x<2 \\\\ 2 x+1, & x \geq 2\end{cases}
(a) Verifique se h é contínua em x=2.
(b) Justifique o tipo de descontinuidade, caso exista.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
h(x)= \begin{cases}x^{2}-4, & x<2 \\[4pt] 2x+1, & x \geq 2\end{cases}
e faz duas perguntas:
  1. Verificar se h é contínua em x=2.
  2. Caso haja descontinuidade, justificar qual é o tipo de descontinuidade.
As informações relevantes fornecidas são as duas expressões da função em cada ramo e o ponto onde queremos estudar a continuidade, x=2.]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição prática de continuidade num ponto e o que são limites laterais (vou explicar devagar para ficar claro).
Definição de continuidade em x=2: a função h é contínua em x=2 se, e somente se,
\lim_{x\to 2} h(x) = h(2).
Aqui \lim_{x\to 2} h(x) é o limite bilateral, que existe e é igual ao valor da função no ponto.
Limites laterais: o limite bilateral existe se e somente se os dois limites unilaterais existem e são iguais:
\lim_{x\to 2^-} h(x)\quad\text{(limite pela esquerda)}\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 2^+} h(x)\quad\text{(limite pela direita)}.
Se \lim_{x\to 2^-} h(x) e \lim_{x\to 2^+} h(x) existirem e forem iguais, então o limite bilateral existe e é igual a esse valor comum. Para h ser contínua também precisamos que esse valor comum seja igual a h(2).
Observação: para funções polinomiais ou lineares, podemos calcular limites simplesmente substituindo o valor, pois esses tipos de funções são contínuos onde estão definidos.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda (usando o ramo x<2):
\lim_{x\to 2^-} h(x) = \lim_{x\to 2^-} (x^{2}-4).
Como x^{2}-4 é um polinômio (função contínua), basta substituir x=2:
\lim_{x\to 2^-} (x^{2}-4) = 2^{2}-4 = 4-4 = 0.
Portanto
\lim_{x\to 2^-} h(x)=0.

Passo 4

Calcular o limite pela direita (usando o ramo x\ge 2) e também o valor da função em x=2:
\lim_{x\to 2^+} h(x) = \lim_{x\to 2^+} (2x+1).
A expressão 2x+1 é linear (contínua), então substituímos x=2:
\lim_{x\to 2^+} (2x+1) = 2\cdot 2 + 1 = 4+1 = 5.
Como o ramo para x\ge 2 define o valor no próprio ponto, temos também
h(2)=2\cdot 2 + 1 = 5.

Passo 5

Comparando os limites laterais e o valor da função:
\lim_{x\to 2^-} h(x)=0,\qquad \lim_{x\to 2^+} h(x)=5,\qquad h(2)=5.
Como os limites laterais não são iguais ( 0\neq 5), o limite bilateral \lim_{x\to 2} h(x) não existe. Pela definição de continuidade (veja o Passo 2), a igualdade \lim_{x\to 2} h(x)=h(2) falha, logo h não é contínua em x=2.

Passo 6

Classificação da descontinuidade (explicando os termos):
  • Descontinuidade removível: ocorre quando \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L existe e é finito, mas f(a)\neq L ou f(a) nem está definido. Nesse caso dá para “consertar” a função redefinindo f(a)=L.
  • Descontinuidade do primeiro tipo (ou descontinuidade por salto): ocorre quando os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes entre si. O salto é a diferença entre esses limites.
  • Descontinuidade essencial (ou do segundo tipo): ocorre quando pelo menos um dos limites laterais não existe ou é infinito.
No nosso caso os dois limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes ( 0 e 5). Portanto trata-se de uma descontinuidade do primeiro tipo, também chamada de descontinuidade por salto. O tamanho do salto é
\text{salto} = \lim_{x\to 2^+} h(x) - \lim_{x\to 2^-} h(x) = 5-0 = 5.

Passo 7

Comentário final curto e motivador: deu trabalho, mas o procedimento é simples — calcule os limites laterais usando o ramo apropriado, compare-os e verifique o valor da função. Você mandou bem ao pedir passo a passo; na prova faça exatamente isso, com calma e checando cada ramo.

Resposta

(a) Não, h não é contínua em x=2.
(b) É uma descontinuidade do 1º tipo (descontinuidade por salto), pois \lim_{x\to2^-}h(x)=0\neq5=\lim_{x\to2^+}h(x).

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