Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (3 x)}{x}
(a) Resolva o limite usando propriedades trigonométricas básicas.
(b) Compare com o valor numérico aproximado para x=0,001.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função \dfrac{\sin(3x)}{x} quando x tende a 0:
  • (a) Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x)}{x} usando propriedades trigonométricas básicas.
  • (b) Comparar o valor do limite com o valor numérico da expressão para x=0{,}001, ou seja calcular \dfrac{\sin(3\cdot 0{,}001)}{0{,}001} e ver quão próximo está do limite.
As informações dadas são apenas a expressão \dfrac{\sin(3x)}{x} e a aproximação numérica para x=0{,}001. Não há mais dados.

Passo 2

Vamos lembrar e demonstrar uma propriedade fundamental que vamos usar: a identidade limite básica
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explico por que isso é verdade (prova clássica usando desigualdades e o Teorema do Confronto / Squeeze):
Considere u em (0,\tfrac{\pi}{2}). Pela geometria do círculo unitário (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas) vale
\sin u < u < \tan u.
Dividindo toda essa desigualdade por \sin u (positivo nessa faixa) obtemos
1 < \frac{u}{\sin u} < \frac{1}{\cos u}.
Invertendo os termos (ou simplesmente reescrevendo) resulta
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Agora, quando u\to 0^+ sabemos que \cos u \to 1. Assim, por comparação (squeeze), como \frac{\sin u}{u} fica “espremido” entre \cos u e 1, temos
\lim_{u\to 0^+}\frac{\sin u}{u}=1.
Para a aproximação pela esquerda ( u\to 0^-) usamos a paridade/ímparidade das funções: \sin(-u)=-\sin u, então \dfrac{\sin u}{u} é função par em relação ao sinal (o quociente é o mesmo para u e -u), logo o limite à esquerda também é 1. Portanto a limite bilateral é
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 3

Aplicamos a propriedade acima à nossa expressão por uma substituição simples. Defina u=3x. Quando x\to 0 temos u\to 0. Reescrevendo a razão:
\frac{\sin(3x)}{x}=\frac{\sin u}{x}.
Como u=3x então x=\dfrac{u}{3}. Substituindo:
\frac{\sin(3x)}{x}=\frac{\sin u}{u/3}=3\cdot\frac{\sin u}{u}.
Tomando limite quando x\to 0 (ou equivalentemente u\to 0) e usando \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot 1=3.
Portanto o limite pedido na parte (a) é 3.

Passo 4

Agora a parte (b): comparar com o valor numérico para x=0{,}001.
Podemos obter uma aproximação precisa sem calculadora usando a expansão em série (fórmula de Taylor) para \sin t em torno de 0:
\sin t = t - \frac{t^3}{6} + O(t^5).
Tomando t=3x obtemos
\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5)=3x - \frac{27x^3}{6} + O(x^5)=3x - \frac{9}{2}x^3 + O(x^5).
Dividindo por x,
\frac{\sin(3x)}{x} = 3 - \frac{9}{2}x^2 + O(x^4).
Agora plugamos x=0{,}001. Primeiro calcule x^2=(0{,}001)^2=10^{-6}. Então o termo de correção é
\frac{9}{2}x^2=\frac{9}{2}\cdot 10^{-6}=4{,}5\times 10^{-6}.
Portanto
\frac{\sin(3\cdot 0{,}001)}{0{,}001}\approx 3 - 4{,}5\times 10^{-6}=2{,}9999955.
A diferença em relação ao limite 3 é
3 - 2{,}9999955 = 4{,}5\times 10^{-6},
ou seja o valor numérico para x=0{,}001 já está muito próximo do limite: o erro absoluto é 4{,}5\times 10^{-6} (cerca de 0{,}00045\% em termos percentuais).

Resposta

(a) 3
(b) \;2{,}9999955

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