Calcule o limite:
(a) Resolva o limite usando propriedades trigonométricas básicas.
(b) Compare com o valor numérico aproximado para
.
(b) Compare com o valor numérico aproximado para
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
quando
tende a
:
- (a) Calcular o limite
usando propriedades trigonométricas básicas. - (b) Comparar o valor do limite com o valor numérico da expressão para
, ou seja calcular e ver quão próximo está do limite.
As informações dadas são apenas a expressão
e a aproximação numérica para
. Não há mais dados.
Passo 2
Vamos lembrar e demonstrar uma propriedade fundamental que vamos usar: a identidade limite básica
Explico por que isso é verdade (prova clássica usando desigualdades e o Teorema do Confronto / Squeeze):
Considere
em
. Pela geometria do círculo unitário (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas) vale
Dividindo toda essa desigualdade por
(positivo nessa faixa) obtemos
Invertendo os termos (ou simplesmente reescrevendo) resulta
Agora, quando
sabemos que
. Assim, por comparação (squeeze), como
fica “espremido” entre
e
, temos
Para a aproximação pela esquerda (
) usamos a paridade/ímparidade das funções:
, então
é função par em relação ao sinal (o quociente é o mesmo para
e
), logo o limite à esquerda também é
. Portanto a limite bilateral é
Passo 3
Aplicamos a propriedade acima à nossa expressão por uma substituição simples. Defina
. Quando
temos
. Reescrevendo a razão:
Como
então
. Substituindo:
Tomando limite quando
(ou equivalentemente
) e usando
, obtemos
Portanto o limite pedido na parte (a) é
.
Passo 4
Agora a parte (b): comparar com o valor numérico para
.
Podemos obter uma aproximação precisa sem calculadora usando a expansão em série (fórmula de Taylor) para
em torno de
:
Tomando
obtemos
Dividindo por
,
Agora plugamos
. Primeiro calcule
. Então o termo de correção é
Portanto
A diferença em relação ao limite
é
ou seja o valor numérico para
já está muito próximo do limite: o erro absoluto é
(cerca de
em termos percentuais).
Resposta
(a)
(b)
(b)