Determine se o limite
existe nos seguintes casos
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o limite
existe, onde a função é
Informações relevantes dadas:
- A expressão contém um denominador
, que é zero exatamente quando e (ou seja, sobre o eixo ). - O ponto de interesse é
, onde a função não está definida (porque para o denominador é zero). - A pergunta é se, ao nos aproximarmos de
por valores de onde , os valores de se aproximam de um único número (ou seja, se o limite existe).
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Em limites de funções de várias variáveis, dizemos que
existe se, para qualquer caminho que leve até , os valores de tendem ao mesmo número . - Uma forma prática e comum de testar existência é o método dos caminhos: se encontrarmos dois (ou mais) caminhos de aproximação para os quais os limites das restrições de
são diferentes, então o limite geral não existe. - Para aplicar isso aqui, vamos escolher caminhos simples que façam as contas fáceis e ver se os limites são iguais ou diferentes.
Passo 3
Primeiro caminho: aproximar por pontos com
.
- Se
, então substituindo na função temos
desde que
.
- Assim, ao aproximar
(sempre com ), o valor de é exatamente para todos esses pontos, logo o limite ao longo desse caminho é
- Exemplo concreto: tomar
com dá .
Passo 4
Segundo caminho: aproximar por pontos com
(isto é,
).
- Se
, então a expressão do numerador fica . Assim
para todos os pontos desse caminho (novamente quando
).
- Logo, ao aproximar
por pontos com , obtemos
- Exemplo concreto: tomar
com dá .
Passo 5
Observação mais geral com parametrização radial (explicação didática do truque):
- Defina
(isto é, a distância ao eixo na projeção no plano ). Podemos considerar caminhos do tipo
onde
é uma constante real fixa. Esse é o caminho que segue uma “reta” saindo do eixo
com inclinação proporcional a
.
- Substituindo
e na função obtemos
para
.
- Assim, ao aproximar
ao longo do caminho , o valor de é constante e igual a , independentemente de (desde que ). - Isso significa que, variando
, obtemos limites diferentes: por exemplo, dá (já visto), dá (já visto), dá , etc.
Passo 6
Conclusão lógica a partir dos caminhos:
- Encontramos caminhos de aproximação para os quais os limites da função são diferentes (por exemplo, um caminho dá limite
e outro dá limite ; outros caminhos dão , etc.). - Pelo critério do método dos caminhos, se existirem dois caminhos que levem a limites distintos, o limite total não pode existir.
- A ocorrência de pontos onde
(o eixo ) apenas indica que a função não está definida exatamente sobre esse eixo; isso não impede usar trajetórias arbitrárias que se aproximem do origem mas com . Para existência do limite é preciso que TODO caminho (onde a função esteja definida) dê o mesmo valor — e isso não acontece aqui.
Resposta
O limite
não existe.