Determine se o limite \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} f(x, y, z) existe nos seguintes casos
f(x, y, z)=\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o limite \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z) existe, onde a função é
f(x,y,z)=\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão contém um denominador \,x^{2}+y^{2}\,, que é zero exatamente quando x=0 e y=0 (ou seja, sobre o eixo z).
  • O ponto de interesse é (0,0,0), onde a função não está definida (porque para x=0,y=0 o denominador é zero).
  • A pergunta é se, ao nos aproximarmos de (0,0,0) por valores de (x,y,z) onde x^{2}+y^{2}\neq0, os valores de f(x,y,z) se aproximam de um único número (ou seja, se o limite existe).

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Em limites de funções de várias variáveis, dizemos que \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z)=L existe se, para qualquer caminho que leve (x,y,z) até (0,0,0), os valores de f(x,y,z) tendem ao mesmo número L.
  • Uma forma prática e comum de testar existência é o método dos caminhos: se encontrarmos dois (ou mais) caminhos de aproximação para os quais os limites das restrições de f são diferentes, então o limite geral não existe.
  • Para aplicar isso aqui, vamos escolher caminhos simples que façam as contas fáceis e ver se os limites são iguais ou diferentes.

Passo 3

Primeiro caminho: aproximar por pontos com z=0.
  • Se z=0, então substituindo na função temos
f(x,y,0)=\frac{x^{2}+y^{2}-0^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1,
desde que x^{2}+y^{2}\neq0.
  • Assim, ao aproximar (x,y,0)\to(0,0,0) (sempre com x^{2}+y^{2}\neq0), o valor de f é exatamente 1 para todos esses pontos, logo o limite ao longo desse caminho é
\lim_{(x,y,0)\to(0,0,0)} f(x,y,0)=1.
  • Exemplo concreto: tomar x=t, y=0, z=0 com t\to0 f(t,0,0)=1.

Passo 4

Segundo caminho: aproximar por pontos com z^{2}=x^{2}+y^{2} (isto é, z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}).
  • Se z^{2}=x^{2}+y^{2}, então a expressão do numerador fica x^{2}+y^{2}-z^{2}=0. Assim
f(x,y,z)=\frac{0}{x^{2}+y^{2}}=0
para todos os pontos desse caminho (novamente quando x^{2}+y^{2}\neq0).
  • Logo, ao aproximar (x,y,z)\to(0,0,0) por pontos com z^{2}=x^{2}+y^{2}, obtemos
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0),\;z^{2}=x^{2}+y^{2}} f(x,y,z)=0.
  • Exemplo concreto: tomar x=t, y=0, z=t com t\to0 f(t,0,t)=0.

Passo 5

Observação mais geral com parametrização radial (explicação didática do truque):
  • Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (isto é, a distância ao eixo z na projeção no plano xy). Podemos considerar caminhos do tipo
z=k\,r,
onde k é uma constante real fixa. Esse é o caminho que segue uma “reta” saindo do eixo z com inclinação proporcional a k.
  • Substituindo r^{2}=x^{2}+y^{2} e z=k r na função obtemos
f=\frac{r^{2}-z^{2}}{r^{2}}=\frac{r^{2}-k^{2}r^{2}}{r^{2}}=1-k^{2},
para r\neq0.
  • Assim, ao aproximar (x,y,z)\to(0,0,0) ao longo do caminho z=k\sqrt{x^{2}+y^{2}}, o valor de f é constante e igual a 1-k^{2}, independentemente de r (desde que r\neq0).
  • Isso significa que, variando k, obtemos limites diferentes: por exemplo, k=0 1 (já visto), k=1 0 (já visto), k=2 1-4=-3, etc.

Passo 6

Conclusão lógica a partir dos caminhos:
  • Encontramos caminhos de aproximação para os quais os limites da função são diferentes (por exemplo, um caminho dá limite 1 e outro dá limite 0; outros caminhos dão -3, etc.).
  • Pelo critério do método dos caminhos, se existirem dois caminhos que levem a limites distintos, o limite total não pode existir.
  • A ocorrência de pontos onde x^{2}+y^{2}=0 (o eixo z) apenas indica que a função não está definida exatamente sobre esse eixo; isso não impede usar trajetórias arbitrárias que se aproximem do origem mas com x^{2}+y^{2}\neq0. Para existência do limite é preciso que TODO caminho (onde a função esteja definida) dê o mesmo valor — e isso não acontece aqui.

Resposta

O limite \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z) não existe.

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