Determine a diferencial da função:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a diferencial da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - As variáveis independentes são
, e . - O objetivo é encontrar a diferencial total
em termos de , e .
Passo 2
O que é a diferencial total? Vou explicar de forma prática e sem mistério. Se
depende de três variáveis
, a diferencial total é a melhor aproximação linear de como
muda quando
mudam um pouco. A fórmula geral é:
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a mantendo fixos. -
são as pequenas variações (diferenciais) em .
Essa fórmula é só a soma das contribuições lineares de cada variável. Agora vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calcular
.
Truco: ao derivar parcialmente em relação a
, tratamos
e
como constantes. Como
é um produto, mas em
é simples porque
é constante:
- Derivada de
em relação a é . - Então
Passo 4
Calcular
.
Aqui
é tratado como constante. Podemos ver
como
com
. Aplicamos a regra da cadeia: derivada de
é
. Então,
-
tem derivada parcial em relação a igual a (porque é constante). - Assim
Explicando: primeiro a derivada do seno em relação ao seu argumento dá
, depois multiplicamos pela derivada do argumento
em relação a
, que é
.
Passo 5
Calcular
.
Mesmo raciocínio do passo anterior, agora
é constante quando derivamos em relação a
.
- Com
, temos . - Portanto
Passo 6
Montar a diferencial total usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas parciais que achamos:
Substituindo,
Se quiser, dá para fatorar
nas últimas duas parcelas, ficando
Isso é só uma reorganização, ambas as formas são equivalentes.
Passo 7
Pequeno teste numérico (pra ver que faz sentido): escolha
,
,
.
- Então
e . - A fórmula dá
.
Isto significa que, perto desse ponto, pequenas mudanças emtêm efeito vezes a variação de sobre , enquanto pequenas mudanças em e não alteram naquele ponto — faz sentido porque anula a dependência direta de .