Determine a diferencial da função:
w=x \operatorname{sen}(y z).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a diferencial da função w = x \operatorname{sen}(y z).
Informações dadas:
  • A função é w = x \operatorname{sen}(y z).
  • As variáveis independentes são x, y e z.
  • O objetivo é encontrar a diferencial total dw em termos de dx, dy e dz.

Passo 2

O que é a diferencial total? Vou explicar de forma prática e sem mistério. Se w depende de três variáveis x,y,z, a diferencial total é a melhor aproximação linear de como w muda quando x,y,z mudam um pouco. A fórmula geral é:
dw = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy + \frac{\partial w}{\partial z}\,dz.
Aqui:
  • \frac{\partial w}{\partial x} é a derivada parcial de w em relação a x mantendo y,z fixos.
  • dx,dy,dz são as pequenas variações (diferenciais) em x,y,z.
    Essa fórmula é só a soma das contribuições lineares de cada variável. Agora vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}.
Truco: ao derivar parcialmente em relação a x, tratamos y e z como constantes. Como w=x\operatorname{sen}(yz) é um produto, mas em x é simples porque \operatorname{sen}(yz) é constante:
  • Derivada de x em relação a x é 1.
  • Então
\frac{\partial w}{\partial x} = \operatorname{sen}(y z).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}.
Aqui x é tratado como constante. Podemos ver w como w = x\cdot \operatorname{sen}(u) com u = yz. Aplicamos a regra da cadeia: derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u)\cdot u'. Então,
  • u = y z tem derivada parcial em relação a y igual a z (porque z é constante).
  • Assim
\frac{\partial w}{\partial y} = x \cdot \cos(y z)\cdot z = x z \cos(y z).
Explicando: primeiro a derivada do seno em relação ao seu argumento dá \cos(yz), depois multiplicamos pela derivada do argumento yz em relação a y, que é z.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}.
Mesmo raciocínio do passo anterior, agora y é constante quando derivamos em relação a z.
  • Com u = y z, temos \partial u/\partial z = y.
  • Portanto
\frac{\partial w}{\partial z} = x \cdot \cos(y z)\cdot y = x y \cos(y z).

Passo 6

Montar a diferencial total usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas parciais que achamos:
Substituindo,
dw = \operatorname{sen}(y z)\,dx + x z \cos(y z)\,dy + x y \cos(y z)\,dz.
Se quiser, dá para fatorar x\cos(yz) nas últimas duas parcelas, ficando
dw = \operatorname{sen}(y z)\,dx + x\cos(y z)\,(z\,dy + y\,dz).
Isso é só uma reorganização, ambas as formas são equivalentes.

Passo 7

Pequeno teste numérico (pra ver que faz sentido): escolha x=2, y=1, z=0.
  • Então \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1.
  • A fórmula dá dw = 0\cdot dx + 2\cdot 0\cdot 1\cdot dy + 2\cdot 1\cdot 1\cdot dz = 2\,dz.
    Isto significa que, perto desse ponto, pequenas mudanças em z têm efeito 2 vezes a variação de z sobre w, enquanto pequenas mudanças em x e y não alteram w naquele ponto — faz sentido porque \operatorname{sen}(yz)=0 anula a dependência direta de x.

Resposta

dw = \operatorname{sen}(y z)\,dx + x z \cos(y z)\,dy + x y \cos(y z)\,dz.

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