Exercício 1. Calcule o limite abaixo
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x}+e^{y}}{\cos x+\cos y}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{x}+e^{y}}{\cos x+\cos y}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre a soma de exponenciais e^{x}+e^{y} e a soma de cossenos \cos x+\cos y, e o ponto de referência para o limite é (x,y)=(0,0). Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Decisão do método: vou usar regras básicas de limites em várias variáveis (limite de soma é soma dos limites; limite de produto/razão pode ser feita quando limite do denominador é diferente de zero) e o fato de que e^{t} e \cos t são funções contínuas em t=0. Essa escolha é a mais direta e exige poucas contas na prova; como checagem extra eu também mostro a ideia via expansão (opcional) para ganhar confiança.

Passo 3

Primeiro, lembro a propriedade que vou usar: se f e g têm limite quando (x,y)\to(0,0) e \lim g\neq 0, então
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)}{\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)}.
Vou aplicar isso com f(x,y)=e^{x}+e^{y} e g(x,y)=\cos x+\cos y. Antes, preciso calcular os limites separados.

Passo 4

Calculo do limite do numerador. Como a função t\mapsto e^{t} é contínua em t=0, temos
\lim_{x\to 0} e^{x}=e^{0}=1
e análogamente
\lim_{y\to 0} e^{y}=1.
Pelo fato de que o limite de soma é a soma dos limites (propriedade dos limites em \mathbb{R}^2), obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)=1+1=2.

Passo 5

Calculo do limite do denominador. Como t\mapsto \cos t é contínua em t=0, temos
\lim_{x\to 0}\cos x=\cos 0=1
e
\lim_{y\to 0}\cos y=1.
Logo, pela soma de limites,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(\cos x+\cos y\bigr)=1+1=2.

Passo 6

Verificação necessária: o limite do denominador é \,2\neq 0, então existe um vizinhança de (0,0) onde \cos x+\cos y não é zero (por continuidade). Para ser explícito: como \lim_{x\to0}\cos x=1, existe \delta>0 tal que para |x|<\delta temos |\cos x-1|<\tfrac12; o mesmo vale para y. Assim, se \|(x,y)\|<\delta então
\cos x+\cos y> \tfrac12+\tfrac12=1>0,
logo o denominador não anula nessa vizinhança. Portanto posso aplicar a propriedade da razão de limites.

Passo 7

Aplicando a regra da razão de limites:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{x}+e^{y}}{\cos x+\cos y} = \frac{\lim_{(x,y)\to(0,0)}(e^{x}+e^{y})}{\lim_{(x,y)\to(0,0)}(\cos x+\cos y)} = \frac{2}{2}=1.

Passo 8

(Confirmação via expansão — explicação extra para fixar a intuição)
Usando expansões para pequenas t:
e^{t}=1+t+O(t^{2}),\qquad \cos t=1-\tfrac{t^{2}}{2}+O(t^{4}).
Então
e^{x}+e^{y}=2+(x+y)+O(\|(x,y)\|^{2})
e
\cos x+\cos y=2-\tfrac{x^{2}+y^{2}}{2}+O(\|(x,y)\|^{4}).
Dividindo e observando que os termos que não são constantes tendem a 0 quando (x,y)\to(0,0), obtemos novamente que o quociente tende a 1. Isso só reforça a conclusão anterior.

Resposta

1

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