Exercício 1. Calcule o limite abaixo
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas: a expressão é a razão entre a soma de exponenciais
e a soma de cossenos
, e o ponto de referência para o limite é
. Não há outras condições explícitas no enunciado.
Passo 2
Decisão do método: vou usar regras básicas de limites em várias variáveis (limite de soma é soma dos limites; limite de produto/razão pode ser feita quando limite do denominador é diferente de zero) e o fato de que
e
são funções contínuas em
. Essa escolha é a mais direta e exige poucas contas na prova; como checagem extra eu também mostro a ideia via expansão (opcional) para ganhar confiança.
Passo 3
Primeiro, lembro a propriedade que vou usar: se
e
têm limite quando
e
, então
Vou aplicar isso com
e
. Antes, preciso calcular os limites separados.
Passo 4
Calculo do limite do numerador. Como a função
é contínua em
, temos
e análogamente
Pelo fato de que o limite de soma é a soma dos limites (propriedade dos limites em
), obtemos
Passo 5
Calculo do limite do denominador. Como
é contínua em
, temos
e
Logo, pela soma de limites,
Passo 6
Verificação necessária: o limite do denominador é
, então existe um vizinhança de
onde
não é zero (por continuidade). Para ser explícito: como
, existe
tal que para
temos
; o mesmo vale para
. Assim, se
então
logo o denominador não anula nessa vizinhança. Portanto posso aplicar a propriedade da razão de limites.
Passo 7
Aplicando a regra da razão de limites:
Passo 8
(Confirmação via expansão — explicação extra para fixar a intuição)
Usando expansões para pequenas :
Usando expansões para pequenas
Então
e
Dividindo e observando que os termos que não são constantes tendem a
quando
, obtemos novamente que o quociente tende a
. Isso só reforça a conclusão anterior.