Determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é +\infty ou -\infty.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{2-x}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão de duas funções, com numerador x^{3}-8 e denominador 2-x.
  • O ponto de interesse é x=2.
    O que é pedido: determinar o valor do limite quando x se aproxima de 2, ou informar que o limite não existe; se for infinito, indicar o sinal.

Passo 2

Tentar a substituição direta em limites é o primeiro passo simples. Substituindo x=2 em numerador e denominador:
x^{3}-8\Big|_{x=2}=2^{3}-8=8-8=0, \qquad 2-x\Big|_{x=2}=2-2=0.
Logo a forma obtida é \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Explicando rapidinho: \frac{0}{0} não significa que o limite vale 0 nem que vale qualquer outro número — indica apenas que a substituição direta falhou e que é preciso manipular a expressão para entender o comportamento próximo de x=2.

Passo 3

Uma técnica natural para eliminar formas indeterminadas é fatorar o numerador quando possível. Lembrar da identidade algébrica “diferença de cubos”:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}),
onde a e b são quaisquer números ou expressões. Aqui podemos aplicar com a=x e b=2.

Passo 4

Aplicando a identidade ao numerador:
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3}=(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).

Passo 5

Agora reescrevemos a fração usando essa fatoração:
\frac{x^{3}-8}{2-x}=\frac{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)}{2-x}.
Observe que 2-x=-(x-2). Substituindo:
\frac{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)}{2-x}=\frac{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)}{-(x-2)}= -\bigl(x^{2}+2x+4\bigr),
para todo x\neq 2 (não se divide por zero no ponto exato, mas para limites isso basta — o limite depende do comportamento para x próximos de 2, não necessariamente no ponto).

Passo 6

Justificando a simplificação para o cálculo do limite: como as duas expressões
\frac{x^{3}-8}{2-x}\quad\text{e}\quad -\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)
são iguais para todo x\neq 2, elas têm o mesmo limite quando x\to 2. Portanto podemos calcular
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{2-x}=\lim_{x\to 2}\bigl(-\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)\bigr).
O limite do polinômio (função contínua) é obtido por substituição.

Passo 7

Avaliar o polinômio em x=2:
x^{2}+2x+4\Big|_{x=2}=2^{2}+2\cdot 2+4=4+4+4=12.
Portanto
\lim_{x\to 2}\bigl(-\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)\bigr)=-12.

Resposta

-12

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