Determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é +\infty ou -\infty. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{2-x}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{2-x}.
Informações dadas:
A expressão é a razão de duas funções, com numerador x^{3}-8 e denominador 2-x.
O ponto de interesse é x=2.
O que é pedido: determinar o valor do limite quando x se aproxima de 2, ou informar que o limite não existe; se for infinito, indicar o sinal.
Passo 2
Tentar a substituição direta em limites é o primeiro passo simples. Substituindo x=2 em numerador e denominador:
Logo a forma obtida é \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Explicando rapidinho: \frac{0}{0} não significa que o limite vale 0 nem que vale qualquer outro número — indica apenas que a substituição direta falhou e que é preciso manipular a expressão para entender o comportamento próximo de x=2.
Passo 3
Uma técnica natural para eliminar formas indeterminadas é fatorar o numerador quando possível. Lembrar da identidade algébrica “diferença de cubos”:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}),
onde a e b são quaisquer números ou expressões. Aqui podemos aplicar com a=x e b=2.
para todo x\neq 2 (não se divide por zero no ponto exato, mas para limites isso basta — o limite depende do comportamento para x próximos de 2, não necessariamente no ponto).
Passo 6
Justificando a simplificação para o cálculo do limite: como as duas expressões