Determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é +\infty ou -\infty.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{x^{2}+5}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a -\infty (isto é, valores muito negativos).
  • A expressão a analisar é a razão entre o polinômio de grau 1 no numerador e o polinômio de grau 2 no denominador.

Passo 2

Técnica útil aqui: dividir numerador e denominador pelo maior grau de x que aparece no denominador (aqui x^{2}). Isso normaliza a expressão e ajuda a ver o comportamento quando |x| é grande. Faço a divisão termo a termo:
\frac{x}{x^{2}+5} = \frac{\dfrac{x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{5}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora avalio os limites das partes que aparecem na forma simplificada. Primeiro:
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}.
Justificativa: para x\to -\infty tem-se |x|\to\infty, logo \left|\dfrac{1}{x}\right|=\dfrac{1}{|x|}\to 0. Assim \dfrac{1}{x} tende a 0 (pela esquerda, valores negativos ficando cada vez menores em módulo).

Passo 4

Segundo limite:
\lim_{x\to -\infty}\frac{5}{x^{2}}.
Justificativa: x^{2}\to +\infty quando |x|\to\infty, então \dfrac{5}{x^{2}}\to 0. Note que este termo é sempre positivo e tende a 0.

Passo 5

Usando as propriedades de limite (limite do quociente quando o limite do denominador é diferente de zero):
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{5}{x^{2}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}{1+\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{5}{x^{2}}}.
Pelos passos anteriores, os limites das partes são 0 (no numerador) e 0 (no termo somado no denominador), então a expressão acima fica \dfrac{0}{1}.

Passo 6

Comentário sobre o sinal (útil na prova): para x muito negativos, o numerador x é negativo e o denominador x^{2}+5 é positivo, portanto a fração é negativa para x grandes e negativos; conforme |x| cresce, o valor absoluto da fração diminui até aproximar-se do valor indicado acima.

Resposta

0

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