Determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é +\infty ou -\infty.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável x tende para 1.
  • A expressão é uma razão (função racional) com numerador x^{2}+x-2 e denominador x^{2}-1.
  • Note que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios em x. A resolução seguirá da forma mais simples possível (fatorando e simplificando), porque isso é o que normalmente se faz numa prova sem calculadora.

Passo 2

Tentar substituir diretamente x=1 para ver se o limite é imediatamente obtido:
\text{numerador em }x=1:\;1^{2}+1-2=1+1-2=0,
\text{denominador em }x=1:\;1^{2}-1=1-1=0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição; precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Breve explicação do que é a forma indeterminada \dfrac{0}{0} e o que fazer:
  • Quando uma expressão racional dá \dfrac{0}{0} ao substituir o ponto, normalmente isso indica que um fator comum se anula no numerador e no denominador (uma descontinuidade removível).
  • A técnica padrão é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns (para x\neq 1), obtendo uma expressão equivalente em vizinhança de x=1 mas sem a indeterminação, e então aplicar continuidade (substituição) na expressão simplificada.

Passo 4

Fatorar numerador e denominador:
  • Para o numerador x^{2}+x-2, procurar fatores lineares. Testando raízes inteiras, x=1 não é raiz (na verdade testa-se: 1+1-2=0 sim, x=1 é raiz). Então (x-1) é um fator. Fazer fatoração:
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).
Verificação rápida: (x-1)(x+2)=x^{2}+2x-x-2=x^{2}+x-2, está correto.
  • Para o denominador x^{2}-1, lembrar da diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 5

Reescrever a expressão usando as fatorações:
\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}.
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator (x-1):
\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}\quad\text{para }x\neq 1.
Explicação técnica: o limite \lim_{x\to 1} f(x) depende apenas dos valores de f(x) em pontos diferentes de 1; portanto é legítimo simplificar a expressão em uma vizinhança de 1 (excluindo 1 propriamente), e calcular o limite da expressão simplificada.

Passo 6

Agora calcular o limite da expressão simplificada. A função \dfrac{x+2}{x+1} é uma função racional contínua em x=1 (o denominador em x=1 é 1+1\neq 0), então pode-se obter o limite por substituição:
\lim_{x\to 1}\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+2}{1+1}=\frac{3}{2}.
(Isto é resultado da propriedade: se g e h são contínuas em a e h(a)\neq 0, então \lim_{x\to a}\dfrac{g(x)}{h(x)}=\dfrac{g(a)}{h(a)}.)

Passo 7

Interpretação final e comentário didático:
  • A função original tem uma descontinuidade removível em x=1 (porque tanto numerador quanto denominador se anulam em 1 e o fator (x-1) pode ser cancelado).
  • O limite existe e é igual ao valor da função simplificada no ponto x=1.
  • Observação alternativa: poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) porque obtivemos 0/0; derivando temos (2x+1)/(2x) e avaliando em x=1 (2+1)/2=3/2, mesma resposta. Mas fatorar é mais simples e rápido neste caso.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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