Determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é
ou
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável
tende para . - A expressão é uma razão (função racional) com numerador
e denominador . - Note que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios em
. A resolução seguirá da forma mais simples possível (fatorando e simplificando), porque isso é o que normalmente se faz numa prova sem calculadora.
Passo 2
Tentar substituir diretamente
para ver se o limite é imediatamente obtido:
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição; precisamos manipular a expressão.
Passo 3
Breve explicação do que é a forma indeterminada
e o que fazer:
- Quando uma expressão racional dá
ao substituir o ponto, normalmente isso indica que um fator comum se anula no numerador e no denominador (uma descontinuidade removível). - A técnica padrão é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns (para
), obtendo uma expressão equivalente em vizinhança de mas sem a indeterminação, e então aplicar continuidade (substituição) na expressão simplificada.
Passo 4
Fatorar numerador e denominador:
- Para o numerador
, procurar fatores lineares. Testando raízes inteiras, não é raiz (na verdade testa-se: sim, é raiz). Então é um fator. Fazer fatoração:
Verificação rápida:
, está correto.
- Para o denominador
, lembrar da diferença de quadrados:
Passo 5
Reescrever a expressão usando as fatorações:
Para
podemos cancelar o fator
:
Explicação técnica: o limite
depende apenas dos valores de
em pontos diferentes de
; portanto é legítimo simplificar a expressão em uma vizinhança de
(excluindo
propriamente), e calcular o limite da expressão simplificada.
Passo 6
Agora calcular o limite da expressão simplificada. A função
é uma função racional contínua em
(o denominador em
é
), então pode-se obter o limite por substituição:
(Isto é resultado da propriedade: se
e
são contínuas em
e
, então
.)
Passo 7
Interpretação final e comentário didático:
- A função original tem uma descontinuidade removível em
(porque tanto numerador quanto denominador se anulam em e o fator pode ser cancelado). - O limite existe e é igual ao valor da função simplificada no ponto
. - Observação alternativa: poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) porque obtivemos
; derivando temos e avaliando em dá , mesma resposta. Mas fatorar é mais simples e rápido neste caso.