Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5 x}{\sqrt[3]{7 x^{3}+3}}\right)
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
Informações dadas: \;x tende para +\infty.
O numerador é 5x.
O denominador é a raíz cúbica de 7x^{3}+3, ou seja \sqrt[3]{7x^{3}+3}.
A tarefa é calcular esse limite usando a técnica de “extrair a variável das raízes” (como no exemplo fornecido).
Passo 2
Relembrando a propriedade que vamos usar: para raízes de índice ímpar (como a cúbica) vale
\sqrt[3]{a^{3}b}=a\sqrt[3]{b}
e, em particular,
\sqrt[3]{x^{3}}=x
para todo x real (note que, diferente da raiz quadrada, aqui não aparece valor absoluto porque a raiz cúbica é ímpar e preserva o sinal). Como estamos com x\rightarrow+\infty, x será positivo nas aproximações relevantes, então podemos retirar um fator x do interior da cúbica sem problema.