Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5 x}{\sqrt[3]{7 x^{3}+3}}\right)
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
\begin{aligned} & \quad \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x \cdot\left(\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}\right)=\frac{\left|9 x^{2}+x\right|-9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}= & \quad \frac{x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}=\frac{1}{\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{x}}=\frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3} & \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3}=\frac{1}{\sqrt{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(9+x^{-1}\right)}+3}= & \frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{6} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{5x}{\sqrt[3]{7x^{3}+3}}\right).
Informações dadas:
\;x tende para +\infty.
O numerador é 5x.
O denominador é a raíz cúbica de 7x^{3}+3, ou seja \sqrt[3]{7x^{3}+3}.
A tarefa é calcular esse limite usando a técnica de “extrair a variável das raízes” (como no exemplo fornecido).

Passo 2

Relembrando a propriedade que vamos usar: para raízes de índice ímpar (como a cúbica) vale
\sqrt[3]{a^{3}b}=a\sqrt[3]{b}
e, em particular,
\sqrt[3]{x^{3}}=x
para todo x real (note que, diferente da raiz quadrada, aqui não aparece valor absoluto porque a raiz cúbica é ímpar e preserva o sinal). Como estamos com x\rightarrow+\infty, x será positivo nas aproximações relevantes, então podemos retirar um fator x do interior da cúbica sem problema.

Passo 3

Agora fatoramos x^{3} dentro da cúbica:
\sqrt[3]{7x^{3}+3}=\sqrt[3]{x^{3}\left(7+\frac{3}{x^{3}}\right)}.
Aplicando a propriedade da raiz cúbica obtemos
\sqrt[3]{7x^{3}+3}=x\sqrt[3]{7+\frac{3}{x^{3}}}.

Passo 4

Substituindo isso no quociente original temos
\frac{5x}{\sqrt[3]{7x^{3}+3}}=\frac{5x}{x\sqrt[3]{7+\frac{3}{x^{3}}}}.
Como x\neq0 para x grande, podemos simplificar o fator x:
\frac{5x}{x\sqrt[3]{7+\frac{3}{x^{3}}}}=\frac{5}{\sqrt[3]{7+\frac{3}{x^{3}}}}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando x\rightarrow+\infty. A função \sqrt[3]{\cdot} é contínua, então podemos passar o limite para dentro:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5}{\sqrt[3]{7+\frac{3}{x^{3}}}}=\frac{5}{\sqrt[3]{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(7+\frac{3}{x^{3}}\right)}}.
Calculando o limite interior:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(7+\frac{3}{x^{3}}\right)=7+0=7.
Portanto o limite desejado é
\frac{5}{\sqrt[3]{7}}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{\sqrt[3]{7}}

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