Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes.
\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3})
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
\begin{aligned} & \quad \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x \cdot\left(\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}\right)=\frac{\left|9 x^{2}+x\right|-9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}= & \quad \frac{x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}=\frac{1}{\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{x}}=\frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3} & \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3}=\frac{1}{\sqrt{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(9+x^{-1}\right)}+3}= & \frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{6} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\big).
Informações dadas e o que precisamos observar:
  • A expressão é a diferença de duas raízes quadradas: \sqrt{x+1} e \sqrt{x+3}.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
  • Para limites envolvendo raízes que crescem com x é útil “extrair a variável de dentro da raiz” (fatorar \sqrt{x}) ou racionalizar usando o conjugado. Não vamos resolver ainda, só identifiquei o pedido e os dados acima.

Passo 2

Vamos racionalizar a diferença usando o conjugado. Lembra da identidade \;a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\;? Se multiplicarmos e dividirmos pela soma dos dois radicais (o conjugado) obtemos uma expressão mais simples. Escrevo:
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3} = \big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\big)\cdot\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}}.

Passo 3

Aplicando a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} no numerador:
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3} = \frac{( \sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{x+3})^{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}} = \frac{(x+1)-(x+3)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}}.

Passo 4

Calculo a diferença no numerador:
(x+1)-(x+3)=x+1-x-3=-2.
Portanto a expressão fica
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}=\frac{-2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}}.

Passo 5

Agora extraímos a variável x de dentro das raízes para ver o comportamento quando x\to\infty. Para x>0 vale
\sqrt{x+1}=\sqrt{x}\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x}},\qquad \sqrt{x+3}=\sqrt{x}\,\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}.
Substituindo na expressão anterior:
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3} = \frac{-2}{\sqrt{x}\,\big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}\big)}.

Passo 6

Reescrevo a expressão isolando o fator que depende de x de forma clara:
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3} = \frac{-2}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}}.
Agora vamos analisar os limites das duas partes quando x\to\infty.

Passo 7

Estudo o limite do fator dentro das raízes. Como \tfrac{1}{x}\to 0 e \tfrac{3}{x}\to 0 quando x\to\infty, pela continuidade da função raiz quadrada temos:
\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}= \sqrt{1+0}=1, \qquad \lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}= \sqrt{1+0}=1.
Logo o denominador da segunda fração tende para 1+1=2. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Agora combine isso com o fator \tfrac{-2}{\sqrt{x}}. Temos:
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3} \sim \frac{-2}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{-1}{\sqrt{x}}
quando x é grande (mais precisamente, a expressão é exatamente \tfrac{-2}{\sqrt{x}} vezes algo que tende a \tfrac{1}{2}). Como
\lim_{x\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{x}}=0,
segue que o limite original também é 0.

Passo 9

Conclusão final: o termo principal decai como \tfrac{1}{\sqrt{x}} para x\to\infty, então a diferença entre as raízes tende a zero.

Resposta

0

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