Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. \lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3})
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
A expressão é a diferença de duas raízes quadradas: \sqrt{x+1} e \sqrt{x+3}.
O limite é quando x tende para +\infty.
Para limites envolvendo raízes que crescem com x é útil “extrair a variável de dentro da raiz” (fatorar \sqrt{x}) ou racionalizar usando o conjugado. Não vamos resolver ainda, só identifiquei o pedido e os dados acima.
Passo 2
Vamos racionalizar a diferença usando o conjugado. Lembra da identidade \;a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\;? Se multiplicarmos e dividirmos pela soma dos dois radicais (o conjugado) obtemos uma expressão mais simples. Escrevo:
Agora vamos analisar os limites das duas partes quando x\to\infty.
Passo 7
Estudo o limite do fator dentro das raízes. Como \tfrac{1}{x}\to 0 e \tfrac{3}{x}\to 0 quando x\to\infty, pela continuidade da função raiz quadrada temos: