Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. \operatorname{Lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{4}+2 x-1}}{2 x^{2}-1}
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
O numerador é uma raiz quadrada com termo dominante x^{4}.
O denominador é um polinômio de grau 2 com termo dominante 2x^{2}.
O ponto de interesse é x\to+\infty.
A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Passo 2
Vamos usar a técnica de “extrair a variável de dentro da raiz”: quando dentro da raiz há um termo dominante em potência, podemos fatorar essa potência para simplificar. A propriedade usada é
Calculemos \sqrt{x^{4}}. Para todo x tem-se \sqrt{x^{4}}=|x^{2}|. Como estamos calculando o limite quando x\to+\infty, x>0 para x suficientemente grande e assim |x^{2}|=x^{2}. Logo