Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes.
\operatorname{Lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{4}+2 x-1}}{2 x^{2}-1}
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
\begin{aligned} & \quad \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x \cdot\left(\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}\right)=\frac{\left|9 x^{2}+x\right|-9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}= & \quad \frac{x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}=\frac{1}{\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{x}}=\frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3} & \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3}=\frac{1}{\sqrt{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(9+x^{-1}\right)}+3}= & \frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{6} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{4}+2x-1}}{2x^{2}-1}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é uma raiz quadrada com termo dominante x^{4}.
  • O denominador é um polinômio de grau 2 com termo dominante 2x^{2}.
  • O ponto de interesse é x\to+\infty.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Vamos usar a técnica de “extrair a variável de dentro da raiz”: quando dentro da raiz há um termo dominante em potência, podemos fatorar essa potência para simplificar. A propriedade usada é
\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\quad\text{(para \(a\ge0\))}.
No nosso caso o termo dominante é x^{4}, portanto escrevemos
\sqrt{x^{4}+2x-1}=\sqrt{x^{4}\left(1+\frac{2x-1}{x^{4}}\right)}=\sqrt{x^{4}}\;\sqrt{\,1+\frac{2x-1}{x^{4}}\,}.

Passo 3

Calculemos \sqrt{x^{4}}. Para todo x tem-se \sqrt{x^{4}}=|x^{2}|. Como estamos calculando o limite quando x\to+\infty, x>0 para x suficientemente grande e assim |x^{2}|=x^{2}. Logo
\sqrt{x^{4}+2x-1}=x^{2}\sqrt{\,1+\frac{2x-1}{x^{4}}\,}.
Substituindo isso na expressão do limite obtemos
\frac{\sqrt{x^{4}+2x-1}}{2x^{2}-1}=\frac{x^{2}\sqrt{\,1+\dfrac{2x-1}{x^{4}}\,}}{2x^{2}-1}.

Passo 4

Agora simplificamos dividindo numerador e denominador por x^{2} (que é não nulo para x\neq0):
\frac{x^{2}\sqrt{\,1+\dfrac{2x-1}{x^{4}}\,}}{2x^{2}-1} =\frac{\sqrt{\,1+\dfrac{2x-1}{x^{4}}\,}}{2-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Reescrevendo as potências de x em termos decrescentes,
\frac{\sqrt{\,1+\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{4}}\,}}{2-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Agora avaliamos os limites das partes que aparecem:
  • Como x\to\infty temos \dfrac{2}{x^{3}}\to0 e \dfrac{1}{x^{4}}\to0, então
1+\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{4}}\longrightarrow 1.
A função \sqrt{\cdot} é contínua em torno de 1, portanto
\sqrt{\,1+\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{4}}\,}\longrightarrow \sqrt{1}=1.
  • Também \dfrac{1}{x^{2}}\to0, logo
2-\dfrac{1}{x^{2}}\longrightarrow 2.

Passo 6

Como o limite do denominador é 2\neq0, podemos aplicar a regra do quociente de limites (limite do quociente é quociente dos limites) e obter
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\,1+\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{4}}\,}}{2-\dfrac{1}{x^{2}}} =\frac{1}{2}.
Portanto o limite pedido é \dfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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