Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes.
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+1}-x
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
\begin{aligned} & \quad \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x \cdot\left(\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}\right)=\frac{\left|9 x^{2}+x\right|-9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}= & \quad \frac{x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}=\frac{1}{\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{x}}=\frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3} & \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3}=\frac{1}{\sqrt{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(9+x^{-1}\right)}+3}= & \frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{6} \end{aligned}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+1}-x.
Informações relevantes: a variável x tende para +\infty (ou seja, valores muito grandes e positivos). Queremos reescrever a expressão de modo a poder avaliar o comportamento quando x cresce muito.

Passo 2

Ideia-chave (técnica da conjugada): multiplicar a expressão por \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} para usar a fatoração de diferença de quadrados a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aplicando isso obtemos
\sqrt{x^{2}+1}-x=\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{\big(\sqrt{x^{2}+1}\big)^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 3

Calcule o numerador e simplifique:
\big(\sqrt{x^{2}+1}\big)^{2}-x^{2}=x^{2}+1-x^{2}=1,
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\sqrt{x^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
Agora fatoramos x no denominador. Como x\to+\infty temos |x|=x, e
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Assim
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{1}{x\Big(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1\Big)}=\frac{\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1}.

Passo 4

Tome o limite da expressão reescrita. Quando x\to+\infty vale \dfrac{1}{x}\to 0 e \sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to 1. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1}=\frac{0}{1+1}=0.
Intuição rápida: para x grande a diferença \sqrt{x^{2}+1}-x é muito pequena; de fato vale aproximadamente \dfrac{1}{2x}, que vai para 0.

Resposta

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