Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+1}-x
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
Informações relevantes: a variável x tende para +\infty (ou seja, valores muito grandes e positivos). Queremos reescrever a expressão de modo a poder avaliar o comportamento quando x cresce muito.
Passo 2
Ideia-chave (técnica da conjugada): multiplicar a expressão por \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} para usar a fatoração de diferença de quadrados a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aplicando isso obtemos