Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes.
\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1}-\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1}\right)
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
\begin{aligned} & \quad \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x \cdot\left(\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}\right)=\frac{\left|9 x^{2}+x\right|-9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}= & \quad \frac{x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}=\frac{1}{\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{x}}=\frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3} & \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3}=\frac{1}{\sqrt{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(9+x^{-1}\right)}+3}= & \frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{6} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}\right).
Informações dadas: temos duas raízes quadradas que dependem de x e a variável tende para +\infty. Queremos encontrar um número real que seja o limite dessa diferença quando x cresce sem bound.

Passo 2

Estratégia (explicação didática e intuiva): quando temos a diferença de duas raízes do tipo \sqrt{\cdot}-\sqrt{\cdot} é muito útil multiplicar por 1 na forma da conjugada para eliminar as raízes no numerador, usando a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Isso transforma a diferença em uma fração mais manejável. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando a multiplicação pela conjugada: seja
A=\sqrt{x^{2}+x+1},\qquad B=\sqrt{x^{2}-x+1}.
Multiplicamos a expressão por \dfrac{A+B}{A+B} (que vale 1) para usar A^{2}-B^{2}:
\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1} = (A-B)\cdot\frac{A+B}{A+B} = \frac{A^{2}-B^{2}}{A+B}.

Passo 4

Calcule A^{2}-B^{2}. Como A^{2}=x^{2}+x+1 e B^{2}=x^{2}-x+1, temos
A^{2}-B^{2}=(x^{2}+x+1)-(x^{2}-x+1)=2x.
Portanto a expressão original vira
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}}.

Passo 5

Agora vamos “extrair” x das raízes, que é a técnica pedida. Lembre que para x>0 vale |x|=x e
\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.
Da mesma forma,
\sqrt{x^{2}-x+1}=x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.
Isso é válido porque estamos estudando x\to+\infty, ou seja x>0 para x suficientemente grande.

Passo 6

Substituindo essas expressões no denominador da fração obtemos
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}} =\frac{2x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}.
Agora fatoramos x do denominador:
=\frac{2x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\right)} =\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}.

Passo 7

Agora que a expressão está em termos de funções que tendem a constantes quando x\to\infty, podemos passar ao limite. Observe que quando x\to\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Então cada raiz no denominador tende a \sqrt{1+0+0}=\sqrt{1}=1. Formalmente:
\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=1, \qquad \lim_{x\to\infty}\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=1.

Passo 8

Aplicando o limite à expressão obtida no Passo 6:
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}} =\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1.
Portanto o limite pedido é 1.

Resposta

1

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