Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1}-\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1}\right)
Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3 , resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
Informações dadas: temos duas raízes quadradas que dependem de x e a variável tende para +\infty. Queremos encontrar um número real que seja o limite dessa diferença quando x cresce sem bound.
Passo 2
Estratégia (explicação didática e intuiva): quando temos a diferença de duas raízes do tipo \sqrt{\cdot}-\sqrt{\cdot} é muito útil multiplicar por 1 na forma da conjugada para eliminar as raízes no numerador, usando a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Isso transforma a diferença em uma fração mais manejável. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando a multiplicação pela conjugada: seja
A=\sqrt{x^{2}+x+1},\qquad B=\sqrt{x^{2}-x+1}.
Multiplicamos a expressão por \dfrac{A+B}{A+B} (que vale 1) para usar A^{2}-B^{2}:
Agora que a expressão está em termos de funções que tendem a constantes quando x\to\infty, podemos passar ao limite. Observe que quando x\to\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Então cada raiz no denominador tende a \sqrt{1+0+0}=\sqrt{1}=1. Formalmente: